Điều kiện cần và đủ để hàm số $\Large y=a x^{4}+b x^{2}+c$ có hai điểm

Điều kiện cần và đủ để hàm số $\Large y=a x^{4}+b x^{2}+c$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là

• A. $\Large a < 0 ; b > 0$
• B. $\Large a > 0 ; b < 0$
• C. $\Large a > 0 ; b > 0$
• D. $\Large a < 0 ; b < 0$

Ta có $\Large y^{\prime}=4 a x^{3}+2 b x, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x^{2}=-\dfrac{b}{2 a}
\end{array}\right.$. Do đó hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $\Large a.b < 0$

Mặt khác hàm số có hai cực đại một cực tiểu khi y' đổi dấu 2 lần từ dương sang âm, hay $\Large \lim _{x \rightarrow-\infty} y^{\prime}=+\infty$ và $\Large \lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=-\infty \Rightarrow a<0$. Do đó điều kiện cần và đủ để hàm số $\Large y=a x^{4}+b x^{2}+c$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là $\Large a < 0 ; b > 0$