Dãy số $\large (u_n)$ xác định bởi $\large \left\{\begin{align}& u_1=\

Dãy số $\large (u_n)$ xác định bởi $\large \left\{\begin{align}& u_1=\dfrac{1}{3}\\& u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}.u_n\\\end{align}\right.$ và dãy số $\large (v_n)$ xác định bởi $\large \left\{\begin{align}& v_1= u_1\\& v_{n+1}= v_n +\dfrac{u_n}{n}\\\end{align}\right.$. Tính $\large \lim\, v_n$

• A.

  $\large 1$

• B.

  $\large \dfrac{5}{6}$

• C.

  $\large \dfrac{1}{6}$

• D.

  $\large \dfrac{1}{3}$

Chọn B

Từ $\large u_{n+1}= \dfrac{n+1}{3n}.u_n \Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+1} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}$ nên dãy $\large \left(\dfrac{u_n}{n}\right)$ là cấp số nhân với công bội $\large q=\dfrac{1}{3}$

Lại có: $\large v_{n+1}= v_n+\dfrac{u_n}{n}\Leftrightarrow v_{n+1}- v_n =\dfrac{u_n}{n}$

Suy ra: $\large \begin{align}&  v_2 - v_ 1= \dfrac{u_1}{1}\\&

v_ 3 - v_ 2 = \dfrac{u_2}{2}\\&.\\&.\\&.\\& 

v_{n+1} - v_n = \dfrac{u_n}{n}\end{align}$

Cộng vế theo vế ta được: $\large v_{n+1} - v_1= \dfrac{u_1}{1} + \dfrac{u_2}{2}+...+\dfrac{u_n}{n} = \dfrac{u_1\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right]}{1-\dfrac{1}{3}}$

Do đó: $\large v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{3} \right )^n \right ]+v_1=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{3} \right )^n \right ]+\dfrac{1}{3}$

Từ đó ta được: $\large \lim\, v_n = \lim\left[\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3} \right )^n+\dfrac{1}{3} \right ]=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$