MỤC LỤC
Có bao nhiêu mm nguyên để phương trình sau có đúng hai nghiệm dương phân biệt (x2−3x)21+m+4x−x2=(x2−4x−m)22(x+m)+x2−2x+m(x2−3x)21+m+4x−x2=(x2−4x−m)22(x+m)+x2−2x+m.
Lời giải chi tiết:
Phân tích ý tưởng:
Bài toán trên thuộc mức độ vận dụng cao. Để giải được bài toán trên cần có 3 mẫu chốt
Phân tích chuyển về bài toán dạng f(u)+f(v)=0f(u)+f(v)=0, với f(t)f(t) là một hàm số đơn điệu trên khoảng KK.
Khi đưa phương trình về dạng f(u)+f(v)=0f(u)+f(v)=0 thì cần chứng minh được f(u)f(u) và f(v)f(v) cùng dấu hoặc cùng bằng 0.
Sử dụng phương pháp đồ thị để giải quyết vấn đề của bài.
Đặt {u=x2−4x−mv=x2−2x+m, phương trình đã cho trở thành
(u+v)2−u=u2v−u+v ⇔(u+v)12u=u2v−u+v
⇔u+v=u2v+v2u
⇔u(1−2v)=v(2u−1) (*)
1. Nếu u=0 thì phương trình (*) luôn đúng.
2. Nếu v=0 thì phương trình (*) luôn đúng.
3. Nếu u.v≠0 thì phương trình (*) ⇔2u−1u=1−2vv ⇔2u−1u+2v−1v=0.
Xét hàm số f(t)=2t−1t, t≠0. Ta có
Nếu t>0⇒2t>1⇒2t−1>0⇒f(t)>0,∀t>0.
Nếu t<0⇒2t<1⇒2t−1<0⇒f(t)>0,∀t<0.
Từ đó suy ra f(t)=2t−1t>0,∀t≠0.
Mà phương trình (1) ⇔f(u)+f(v)=0 (vô lý) vì {f(u)>0f(v)>0, ∀u,v≠0.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với [u=0v=0 ⇒[x2−4x−m=0x2−2x+m=0 ⇔[x2−4x=m (2)−x2+2x=m (3)
Xét hai hàm số y=x2−4x và y=−x2+2x với x>0. Ta có đồ thị như hình vẽ.
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm dương phân biệt khi m∈{−4;−3;0;1}.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn đáp án B
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới