MỤC LỤC
Có bao nhiêu giá trị nguyên m∈(−2019;2019) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
{4+9.3x2−2y=(4+9x2−2y).72y−x2+22x−1=√2y−2x+m
Lời giải chi tiết:
Chọn A
Xét phương trình: 4+9.3x2−2y=(4+9x2−2y).72y−x2+2
Đặt t=x2−2y, phương trình trở thành:
4+9.3t=(4+9t).72−t
⇔4.7t+9.3t.7t=4.49+49.32t
⇔4(7t−72)=3t(3t.72−7t.32)(∗)
Giả sử 3t.72−7t.32<0
⇔(37)t<(37)2
⇔t>2.
Nếu t>2 ⇒ {VT(∗)>0VP(∗)<0
⇒ (*) vô nghiệm
Nếu t<2 => {VT(∗)<0VP(∗)>0
⇒ (*) vô nghiệm
Nếu t=2 ⇒ VT(∗)=VP(∗) ⇒ (*) có nghiệm duy nhất t=2
⇒ x2−2y=2
⇒ 2y=x2−2
Ta được:
2x−1=√x2−2x−2+m
⇔{3x2−2x+3=m(1)x≥12
Xét hàm số f(x)=3x2−2x+3, với x∈[12;+∞)
⇒ f′(x)=6x−2>0,∀x≥12, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng x∈[12;+∞)
⇒f(x)≥f(12)=114
⇒ (1) có nghiệm x∈[12;+∞) khi m≥114
⇒ m∈[114;2020).
Vì m nguyên nên m∈ {3; 4; 5; …; 2018}.
Vậy có 2016 giá trị của m.