Có bao nhiêu giá trị nguyên $\Large m \in (-2019; 2019)$ sao cho hệ ph

Có bao nhiêu giá trị nguyên $\Large m \in (-2019; 2019)$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm 

$\Large \left\{\begin{matrix}4 + 9 . 3^{x^{2} - 2y} = (4 + 9^{x^{2} - 2y}).7^{2y - x^{2}+ 2}\\ 2x - 1 = \sqrt{2y - 2x + m}\end{matrix}\right.$

• A.

  A. 2016

• B.

  B. 2021

• C.

  C. 2019

• D.

  D. 2020

Chọn A

Xét phương trình: $\Large 4 + 9 . 3^{x^{2} - 2y} = (4 + 9^{x^{2} - 2y}).7^{2y - x^{2}+ 2}$

Đặt $\Large t = x^{2} - 2y$, phương trình trở thành:

$\Large 4 + 9.3^{t} = (4 + 9^{t}).7^{2 - t}$ 

$\Large \Leftrightarrow 4.7^{t} + 9. 3^{t} . 7^{t} = 4.49 + 49.3^{2t}$ 

$\Large \Leftrightarrow 4(7^{t} - 7^{2}) = 3^{t}(3^{t}.7^{2} - 7^{t}.3^{2}) (*)$

Giả sử $\Large 3^{t}.7^{2} - 7^{t}.3^{2}<0$ 

$\Large \Leftrightarrow \left ( \dfrac{3}{7} \right )^{t} < \left ( \dfrac{3}{7} \right )^{2}$ 

$\Large \Leftrightarrow t>2$.

Nếu $\Large t > 2$ $\Large \Rightarrow $ $\Large \left\{\begin{matrix}VT(*) > 0\\ VP(*) < 0\end{matrix}\right.$

$\Large \Rightarrow $ (*) vô nghiệm

Nếu $\Large t < 2$ => $\Large \left\{\begin{matrix}VT(*) < 0\\ VP(*) > 0\end{matrix}\right.$

$\Large \Rightarrow $ (*) vô nghiệm

Nếu $\Large t = 2$ $\Large \Rightarrow $ $\Large VT(*) = VP(*)$ $\Large \Rightarrow $ (*) có nghiệm duy nhất $\Large t = 2$

$\Large \Rightarrow $ $\Large x^{2} - 2y = 2$

$\Large \Rightarrow $ $\Large 2y = x^{2} - 2$

Ta được:

$\Large 2x - 1 = \sqrt{x^{2} - 2x - 2 + m}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^{2} - 2x + 3 = m (1)\\ x \geq \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

Xét hàm số $\Large f(x) = 3x^{2} - 2x + 3 $, với $\Large x \in \left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$

$\Large \Rightarrow $ $\Large f{}'(x) = 6x - 2 > 0, \forall x \geq \dfrac{1}{2}$, suy ra hàm số $\Large f(x)$ đồng biến trên khoảng $\Large x \in \left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$ 

$\Large \Rightarrow f(x) \geq f\left ( \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{11}{4}$

$\Large \Rightarrow $ (1) có nghiệm $\Large x \in \left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$ khi $\Large m \geq \dfrac{11}{4}$

$\Large \Rightarrow $ $\Large m \in \left[\dfrac{11}{4}; 2020\right)$.

Vì $\Large m$ nguyên nên $\Large m \in$ {3; 4; 5; …; 2018}.

Vậy có 2016 giá trị của $\Large m$.