Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\large \log_5 x^2= \log_2y= \l

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\large \log_5 x^2= \log_2y= \log_9 (x^2+y^2)$. Giá trị của $\large \dfrac{x^2}{y}$ bằng 

• A. A. $\large \dfrac{5}{2}$
• B. B. $\large \log_2\left( \dfrac{5}{2}\right)$
• C. C. $\large 2$
• D. D. $\large \log_5\left( \dfrac{5}{2}\right)$

Chọn A

Đặt $\large \log_5x^2= \log_2y = \log_9 (x^2+y^2) = a,\, (a\in \mathbb{R})\Rightarrow$ $\large \left\{\begin{align}& x^2 =5^a\\& y = 2^a\\& x^2+y^2= 9^a\\\end{align}\right.$

$\large \Rightarrow 5^a+ 4^a 9^a \Rightarrow \left(\dfrac{4}{9}\right)^a+ \left( \dfrac{5}{9}\right)^a = 1\,\, (1)$

Xét hàm số $\large f(a) = \left(\dfrac{4}{9}\right)^a+ \left( \dfrac{5}{9}\right)^a\Rightarrow f'(a) = \left(\dfrac{4}{9}\right)^a.\ln \dfrac{4}{9}+ \left( \dfrac{5}{9}\right)^a.\ln \dfrac{5}{9} < 0, \forall a\in \mathbb{R}$

Suy ra hàm số f(a) nghịch biến trên $\large \mathbb{R}$ mà $\large f(1)=1\Rightarrow a= 1$ là nghiệm duy nhất của (1)

$\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& x^2 =5\\& y = 2\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow \dfrac{x^2}{y} = \dfrac{5}{2}$