Xét các số thực thỏa mãn $\large a> b> 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\larg

Xét các số thực thỏa mãn $\large a> b> 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\large P_{\min}$ của biểu thức $\large P = \log_{\dfrac{a}{b}}^2 (a^2) + 3\log_b\left (\dfrac{a}{b}\right)$

• A. A. $\large P_{\min} = 19$
• B. B. $\large P_{\min} = 13$
• C. C. $\large P_{\min} = 15$
• D. D. $\large P_{\min} = 14$

Chọn C

$\large P = \log_{\dfrac{a}{b}}^2(a^2)+ 3\log_b\left(\dfrac{a}{b} \right )=\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\log_a\left(\dfrac{a}{b} \right )} \right )^2+ 3\log_b(a-1)= \dfrac{4}{(1-\log_ab)^2}+ \dfrac{3}{\log_ab}- 3$

Đặt $\large t = \log_ab\, (0< t< 1)$

Ta được biểu thức: $\large P = f(t) = \dfrac{4}{(1-t)^2} + \dfrac{3}{t} - 3;\, f'(t) = \dfrac{8}{(1-t)^3} - \dfrac{3}{t^2}$

$\large f'(t)= 0\Leftrightarrow \dfrac{8}{(1-t)^3}= \dfrac{3}{t^2}\Leftrightarrow 8t^2= 3-9t + 9t^2 - 3t^3\Leftrightarrow 3t^3- t^2+ 9t- 3=0\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$

Bảng biến thiên của f(t) 

$\large \Rightarrow \min f(t) = f\left( \dfrac{1}{3}\right) = 15\Rightarrow P_{\min} = 15$