Cho x,y > 0 thỏa mãn $\Large \log(x+2y) = \log x + \log y$. Khi đó giá

Cho x,y > 0 thỏa mãn $\Large \log(x+2y) = \log x + \log y$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P = \dfrac{x^{2}}{1+2y} + \dfrac{4y^{2}}{1+x}$ là

• A. A. $\Large \dfrac{32}{5}$
• B. B. $\Large \dfrac{29}{5}$
• C. C. 6
• D. D. $\Large \dfrac{31}{5}$

Từ giả thiết $\Large \log(x+2y) = \log x + \log y \Leftrightarrow \log(x+2y) = \log(xy)\Leftrightarrow x + 2y = xy \Leftrightarrow 2(x+2y)=2xy (*)$

Đặt $\Large a = x > 0; b = 2y > 0$, khi đó (*)   $\Large \Leftrightarrow 2(a+b)=ab$ và $\Large P=\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+a}\geq \dfrac{(a+b)^2}{a+b+2}$

Lại có $\Large ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow 2(a+b)\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\Leftrightarrow a+b\geq 8$

Đặt $\Large t = a + b$, do đó $\Large P\geq f(t)=\dfrac{t^2}{t+2}$

Xét hàm số $\Large f(t)=\dfrac{t^2}{t+2}$ trên $\Large [8;+\infty )$, có $\Large f'(t)=\dfrac{t^2+2t}{(t+2)^2}>0, \forall t\geq 8$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $\Large [8;+\infty ) \Rightarrow \min_{ [8;+\infty )}f(t)=f(8)=\dfrac{32}{5}$ 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\Large \dfrac{32}{5}$