Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong

Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a.

 

• A.

  A. $\large \dfrac{5}{3}\pi a^{2}$

• B.

  B. $\large \dfrac{11}{3}\pi a^{2}$

• C.

  C. $\large 2\pi a^{2}$

• D.

  D. $\large \dfrac{4}{3}\pi a^{2}$

Gọi M là trung điểm của AB

Vì tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau

$\large \Rightarrow$ Góc $\large \widehat{DMC}=90^{\circ}$ 

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

$\large \Rightarrow$ H, G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và ABD

$\large \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
H\in CM; CH = \dfrac{2}{3}CM & \\ 
G \in DM; DG = \dfrac{2}{3}DM & 
\end{matrix}\right.$ 

Kẻ đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và đường vuông góc với (ABD) từ G.

Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O.

$\large \Rightarrow$ O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và R = OC.

Tam giác ABC đều cạnh a

$\large \rightarrow CM =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a \Rightarrow CH = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a; HM = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$ 

Chứng minh tương tự ta có $\large GM = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$

Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông $\large \rightarrow OH = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$ 

Tam giác OHC vuông tại H $\large \rightarrow$ Áp dụng định lý Pitago ta có: 

$\large OC = \sqrt{CH^{2}+OH^{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}a = R \Rightarrow S = 4\pi R^{2} = \dfrac{5}{3}\pi a^{2}$ 

Chọn A.