Cho tập hợp số phức z thỏa mãn $\large \left|\dfrac{z-1}{z+3 i}\right|

Cho tập hợp số phức z thỏa mãn $\large \left|\dfrac{z-1}{z+3 i}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm max của $\large P=|z+i|+2|\bar{z}-4+7 i|$

• A.

  A. 8

• B.

  B. 20

• C.

  C. $\large 2 \sqrt{5}$

• D.

  D. $\large 4 \sqrt{5}$

Bài toán có thể quy về điểm M thuộc đường tròn và cần tìm max của MA +2MB

Gọi $\large z=x+y i$ với $\large x, y \in \mathbb{R}$, ta có: $\large \left|\dfrac{z-1}{z+3 i}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2}|z-1|=|z+3 i|$

$\large \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}} \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=20$

Đặt $\large x=2+2 \sqrt{5} \cos t, y=3+2 \sqrt{5} \sin t, t \in[0 ; 2 \pi]$. Ta biến đổi $\large P=|z+i|+2|z-4-7 i|$ và thay biến thì $\large P=\sqrt{(2+2 \sqrt{5} \cos t)^{2}+(4+2 \sqrt{5} \sin t)^{2}}+2 \sqrt{(-2+2 \sqrt{5} \cos t)^{2}+(-4+2 \sqrt{5} \sin t)^{2}}$.

$\large P=\sqrt{40+8 \sqrt{5}(\cos t+2 \sin t)}+2 \sqrt{40-8 \sqrt{5}(\cos t+2 \sin t)}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxli ta có $\large P \leq \sqrt{\left(1^{2}+2^{2}\right)(40+40)}=20$. Chọn B.