Cho số phức z thỏa mãn $\large |z-8|+|z+8|=204. Gọi m, n lần lượt là g

Cho số phức z thỏa mãn $\large |z-8|+|z+8|=204. Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z|. Tính P=m+n.

• A.

  A. P=16

• B.

  B. $\large P=10 \sqrt{2}$

• C.

  C. P=17

• D.

  D. $\large P=5 \sqrt{10}$

Gọi $\large z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$ và $\large M(x, y)4 là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức.

Xét các điểm $\large F_{1}(-8 ; 0), F_{2}(8 ; 0)$. Ta có: $\large M F_{1}=\sqrt{(-8-x)^{2}+(-y)^{2}}=\sqrt{(x+8)^{2}+y^{2}}=|z+8|$.

$\large \begin{array}{l}
M F_{2}=\sqrt{(8-x)^{2}+(-y)^{2}}=\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}=|z-8| \\
\Rightarrow|z-8|+|z+8|=20 \Leftrightarrow \sqrt{(x+8)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}=20 \Leftrightarrow M F_{1}+M F_{2}=20
\end{array}$

Do $\large M F_{1}+M F_{2} \geq F_{1} F_{2} \Rightarrow$ Tập hợp điểm M là một elip có dạng $\large \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$\large \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 a=20 \\
c=8
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a^{2}=100 \\
b^{2}=a^{2}-c^{2}=36
\end{array} \Rightarrow \dfrac{x^{2}}{100}+\dfrac{y^{2}}{36}=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\max |z|=10 \\
\min |z|=6
\end{array} \Rightarrow m+n=16\right.\right.\right.$.