Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\Large |z+2-i|-|z-2-3 i|=2 \sqrt{5}$

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\Large |z+2-i|-|z-2-3 i|=2 \sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Large |z|$

• A. $\Large |z|_{\min }=\sqrt{5}$
• B. $\Large |z|_{\min }=\dfrac{4 \sqrt{5}}{5}$
• C. $\Large |z|_{\min }=\sqrt{13}$
• D. $\Large |z|_{\min }=2 \sqrt{5}$

Đặt $\Large z-2-3 i=u \Leftrightarrow z=u+2+3 i$ ta viết lịa giả thiết $\Large |u+4+2 i|=|u|+2 \sqrt{5}$ (1)

Từ (1) ta lại có: $\Large |u|+2 \sqrt{5}=|u+4+2 i| \leq|u|+|4+2 i|=|u|+2 \sqrt{5}$ do đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Large u=k(4+2 i), k \geq 0$

Thay trở về (1) ta được: $\Large 2 \sqrt{5}|k+1|=2 \sqrt{5}(|k|+1) \Rightarrow|k+1|=|k|+1$ (đúng $\Large \forall k \geq 0$)

Hiển nhiên ta tìm min nên chọn $\Large k=0 \Rightarrow u=0 \Rightarrow|z|_{min}=|2+3i|=\sqrt{13}$, Chọn C