Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2

Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2\dfrac{3x+3y+4}{x^2+y^2}=(x+y-1)(2x+2y-1)-4(xy+1)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P=\dfrac{5x+3y-2}{2x+y+1}$ bằng

• A. 3.
• B. 1.
• C. 2.
• D. 4.

$\Large \mathrm{log}_2\dfrac{3x+3y+4}{x^2+y^2}=(x+y-1)(2x+2y-1)-4(xy+1)$.

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(3x+3y+4)-\mathrm{log}_2(x^2+y^2)$=$\Large 2(x^2+y^2)-(3x+3y+4)+1$.

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(3x+3y+4)-\left[\mathrm{log}_2(x^2+y^2)+1\right]$=$\Large 2(x^2+y^2)-(3x+3y+4)$.

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(3x+3y+4)-\mathrm{log}_22(x^2+y^2)$=$\Large 2(x^2+y^2)-(3x+3y+4)$.

$\Large \Leftrightarrow (3x+3y+4)+\mathrm{log}_2(3x+3y+4)$=$\Large 2(x^2+y^2)+\mathrm{log}_22(x^2+y^2)$ (*)

Xét hàm số $\Large f(t)=t+\mathrm{log}_2t$ đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$ nên (*) $\Large \Leftrightarrow (3x+3y+4)=2(x^2+y^2)$

Ta có $\Large (x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$ $\Large \Leftrightarrow (x+y)^2\leq (3x+3y+4)$ $\Large \Leftrightarrow (x+y)^2-3(x+y)-4\leq 0$

$\Large \Leftrightarrow -1\leq x+y\leq 4$. Do $\Large x, y$ là các số thực dương nên $\Large 0 < x+y \leq 4$ $\Large \Rightarrow x+y-4\leq 0$.

Ta có $\Large \left\{\begin{align} & x+y-4\leq 0 \\ & 2x+y+1 > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \dfrac{x+y-4}{2x+y+1}\leq 0$

Suy ra $\Large P=\dfrac{5x+3y-2}{2x+y+1}$=$\Large \dfrac{2(2x+y+1)+(x+y-4)}{2x+y+1}$=$\Large 2+\dfrac{x+y-4}{2x+y+1}\leq 2$

Vậy $\Large {P_{\max}}=2$ xảy ra khi $\Large x=y=2$.