Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình bình hành,

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình bình hành, trên cạnh $\large SA$ lấy điểm $\large M$ và đặt $\large\dfrac{SM}{SA}=x$. Giá trị $\large x$ để mặt phẳng $\large (MBC)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là

• A.

  A. $\large x=\dfrac{1}{2}$

• B.

  B. $\large x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

• C.

  C. $\large x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

• D.

  D. $\large x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{3}$

Ta có:

$\large\left\{\begin{align}BC//(SAD)\\ BC\subset (BMC)\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow (SAD)\cap (BMC)=MN//BC\Rightarrow \dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SD}=x$

$\large\dfrac{V_{S.MBC}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{2V_{S.MBC}}{V}=\dfrac{SM}{SA}=x$

$\large\dfrac{V_{S.MCN}}{V_{S.ACD}}=\dfrac{2V_{S.MCN}}{V}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SD}=x^{2}$

$\large\Rightarrow \dfrac{2(V_{S.MCN}+V_{S.MBC})}{V}=x+x^{2}\Leftrightarrow \dfrac{2V_{S.MBCN}}{V}=x+x^{2}\Leftrightarrow \dfrac{V_{S.MBCN}}{V}=\dfrac{x+x^{2}}{2}$ (1)

Mặt phẳng $\large (MBC)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau $\large\dfrac{V_{S.MBCN}}{V}=\dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\large 1=x+x^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

Đáp án B