\r\n\r\n
Gọi $\\Large H$ là trung điểm của $\\Large AB.$
\r\n\r\nDo $\\Large \\Delta SAB$ đều và $\\Large (SAB) \\bot (ABCD)$ nên $\\Large SH \\bot (ABCD).$
\r\n\r\nTa có:
\r\n\r\n$\\Large S_{\\Delta ABC} = \\dfrac{AB^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{27\\sqrt{3}}{4}$
\r\n\r\n$\\Large \\Rightarrow AB = 3\\sqrt{3}$
\r\n\r\n$\\Large \\Rightarrow SH = \\dfrac{AB\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}.\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{9}{2}$
\r\n\r\n$\\Large \\Rightarrow V_{S.ABCD} = \\dfrac{1}{3}. S_{ABCD}.SH = \\dfrac{1}{3}. AB^{2}.SH$ $\\Large = \\dfrac{1}{3} (3\\sqrt{3})^{2}.\\dfrac{9}{2}$ $\\Large = \\dfrac{81}{2}$ (đvtt).
\r\n\r\nGọi $\\Large G$ là trọng tâm tam giác $\\Large SAB,$ qua $\\Large G$ kẻ đường thẳng song song với $\\Large AB,$ cắt $\\Large SA$ và $\\Large SB$ lần lượt tại $\\Large M$ và $\\Large N.$ Qua $\\Large N$ kẻ đường thẳng song song với $\\Large BC$ cắt $\\Large SC$ tại $\\Large P,$ qua $\\Large M$ kẻ đường thẳng song song với $\\Large AD$ cắt $\\Large SD$ tại $\\Large Q.$ Suy ra $\\Large (MNPQ)$ là mặt phẳng đi qua $\\Large G$ và song song với $\\Large (ABCD).$
\r\n\r\nKhi đó:
\r\n\r\n$\\Large \\dfrac{SM}{SA} = \\dfrac{SN}{SB} = \\dfrac{SP}{SC} = \\dfrac{SQ}{SD} = \\dfrac{SG}{SH} = \\dfrac{2}{3}.$
\r\n\r\nCó $\\Large \\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \\dfrac{SM}{SA} .\\dfrac{SN}{SB} . \\dfrac{SP}{SC} = \\left ( \\dfrac{2}{3} \\right )^{3} = \\dfrac{8}{27}$
\r\n\r\n$\\Large \\Rightarrow V_{S.MNP} = \\dfrac{8}{27}. V_{S.ABC} = \\dfrac{8}{27}. \\dfrac{1}{2} . V_{S.ABCD}$ $\\Large = \\dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}.$
\r\n\r\nCó $\\Large \\dfrac{V_{S.MPQ}}{V_{S.ACD}} = \\dfrac{SM}{SA} .\\dfrac{SP}{SC} . \\dfrac{SQ}{SD} = \\left ( \\dfrac{2}{3} \\right )^{3} = \\dfrac{8}{27}$
\r\n\r\n$\\Large \\Rightarrow V_{S.MPQ} = \\dfrac{8}{27}. V_{S.ACD} = \\dfrac{8}{27}. \\dfrac{1}{2} . V_{S.ABCD}$ $\\Large = \\dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}.$
\r\n\r\nVậy $\\Large V_{S.MNPQ} = V_{S.MNP} + V_{S.MPQ}$
\r\n\r\n$\\Large = \\dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD} + \\dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}$
\r\n\r\n$\\Large = \\dfrac{8}{27} . V_{S.ABCD}$
\r\n\r\n$\\Large = \\dfrac{8}{27}.\\dfrac{81}{2}$
\r\n\r\n$\\Large = 12$ (đvtt).
\r\n","url":"https://hoc357.edu.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-large-sabcd-co-day-la-hinh-vuong-mat-ben-large-s-v7430","dateCreated":"2022-08-19T14:29:33.064Z","author":{"@type":"Person","name":"Trần Thanh Hùng"}},"suggestedAnswer":[]}}MỤC LỤC
Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $\Large (SAB)$ là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $\Large (ABCD)$ và có diện tích bằng $\Large \dfrac{27\sqrt{3}}{4}$ (đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác $\Large SAB$ và song song với mặt đáy $\Large (ABCD)$ chia khối chóp $\Large S.ABCD$ thành hai phần, tính thể tích $\Large V$ của phần chứa điểm $\Large S$.
Lời giải chi tiết:
Chọn D
Gọi $\Large H$ là trung điểm của $\Large AB.$
Do $\Large \Delta SAB$ đều và $\Large (SAB) \bot (ABCD)$ nên $\Large SH \bot (ABCD).$
Ta có:
$\Large S_{\Delta ABC} = \dfrac{AB^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4}$
$\Large \Rightarrow AB = 3\sqrt{3}$
$\Large \Rightarrow SH = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9}{2}$
$\Large \Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}. S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}. AB^{2}.SH$ $\Large = \dfrac{1}{3} (3\sqrt{3})^{2}.\dfrac{9}{2}$ $\Large = \dfrac{81}{2}$ (đvtt).
Gọi $\Large G$ là trọng tâm tam giác $\Large SAB,$ qua $\Large G$ kẻ đường thẳng song song với $\Large AB,$ cắt $\Large SA$ và $\Large SB$ lần lượt tại $\Large M$ và $\Large N.$ Qua $\Large N$ kẻ đường thẳng song song với $\Large BC$ cắt $\Large SC$ tại $\Large P,$ qua $\Large M$ kẻ đường thẳng song song với $\Large AD$ cắt $\Large SD$ tại $\Large Q.$ Suy ra $\Large (MNPQ)$ là mặt phẳng đi qua $\Large G$ và song song với $\Large (ABCD).$
Khi đó:
$\Large \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{SQ}{SD} = \dfrac{SG}{SH} = \dfrac{2}{3}.$
Có $\Large \dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA} .\dfrac{SN}{SB} . \dfrac{SP}{SC} = \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3} = \dfrac{8}{27}$
$\Large \Rightarrow V_{S.MNP} = \dfrac{8}{27}. V_{S.ABC} = \dfrac{8}{27}. \dfrac{1}{2} . V_{S.ABCD}$ $\Large = \dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}.$
Có $\Large \dfrac{V_{S.MPQ}}{V_{S.ACD}} = \dfrac{SM}{SA} .\dfrac{SP}{SC} . \dfrac{SQ}{SD} = \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3} = \dfrac{8}{27}$
$\Large \Rightarrow V_{S.MPQ} = \dfrac{8}{27}. V_{S.ACD} = \dfrac{8}{27}. \dfrac{1}{2} . V_{S.ABCD}$ $\Large = \dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}.$
Vậy $\Large V_{S.MNPQ} = V_{S.MNP} + V_{S.MPQ}$
$\Large = \dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD} + \dfrac{4}{27} . V_{S.ABCD}$
$\Large = \dfrac{8}{27} . V_{S.ABCD}$
$\Large = \dfrac{8}{27}.\dfrac{81}{2}$
$\Large = 12$ (đvtt).
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới