Cho hình chóp $\Large S.ABCD$, có đáy là hình vuông cạnh bằng $\Large

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$, có đáy là hình vuông cạnh bằng $\Large x$. Cạnh bên $\Large SA=x\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng $\Large (ABCD).$ Tính theo $\Large x$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $\Large S.ABCD.$

• A.

  A. $\Large 8\pi x^2.$

• B.

  B. $\Large x^2\sqrt{2}.$

• C.

  C. $\Large 2\pi x^2.$

• D.

  D. $\Large 2x^2.$

Chọn A

+) Ta có $\Large SA\perp (ABCD)$ $\Large \Rightarrow SA\perp AC, SA\perp BC, SA\perp CD.$

$\Large \left\{\begin{align} &BC\perp SA \\ & BC\perp AB \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow BC\perp SB.$

$\Large \left\{\begin{align} &CD\perp SA \\ &CD\perp AD \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow CD\perp SD.$

Vậy $\Large \widehat{SAC}=\widehat{SBC}=\widehat{SDC}=90^{\circ}$ do đó $\Large A, B, D, S, C$ thuộc mặt cầu đường kính $\Large SC.$

+) Ta có $\Large AC=\sqrt{2}x$, $\Large SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=2\sqrt{2}x.$

Gọi $\Large R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $\Large S.ABCD$ khi đó $\Large R=\dfrac{SC}{2}=\sqrt{2}x.$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $\Large S.ABCD$ bằng $\Large S=4\pi R^2=4\pi(\sqrt{2}x)^2=8\pi x^2.$