Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\Large \left

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\Large \left[ 0;\pi  \right]$ và $\Large f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)$. Biết $\Large \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left| {f}'(x) \right|}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{\pi }{\cos x.f(x)=\dfrac{\pi }{2}}}$ . Tính tích phân $\Large I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f(x)dx}$

• A.

  $\Large 0$

• B.

  $\Large \dfrac{\pi }{2}+1$

• C.

  $\Large \dfrac{\pi }{2}$

• D.

  $\Large \dfrac{1}{4}$

Tính $\Large G=\int\limits_{0}^{\pi }{\cos x.f(x)dx}$

Đặt $\Large \left\{ \begin{align}  & u=f(x) \\  & dv=\cos xdx \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du={f}'(x)dx \\  & v=\sin x \\ \end{align} \right.$

Ta có: $\Large G=\sin x.f(x)\left| \begin{align}  & \pi  \\  & 0 \\ \end{align} \right. -\int_{0}^{\pi}\sin x.f'(x)dx=-\int_{0}^{\pi}\sin x.f'(x)dx$ 

Kết hợp giả thiết $\Large G=\dfrac{\pi }{2}$, ta có $\Large \int\limits_{0}^{\pi }{\sin x.{f}'(x)dx=-\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi }{2\sin x.{f}'(x)dx=-\pi }}$ (1)

Lại có $\Large \int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi }{(1-\cos 2x)dx=\dfrac{\pi }{2}}}$ (2)

Kết hợp giả thiết $\Large \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx=\dfrac{\pi }{2}}$ (3)

Từ (1),(2) và (3) ta được 

$\Large \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx+2\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'(x)\sin xdx+\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx=-\pi +\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{2}}}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\pi }{\left\{ {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+2{f}'(x)\sin x+{{\sin }^{2}}x \right\}dx=0}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left[ {f}'(x)+\sin x \right]}^{2}}dx=0}$

$\Large \Rightarrow {f}'(x)+\sin x=0$

$\Large \Leftrightarrow {f}'(x)=-\sin x$

$\Large \Rightarrow f(x)=\cos x+C$

Lại có $\Large f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)=\cos x+1$

Vậy $\Large I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f(x)dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{(1+\cos x)dx=1+\dfrac{\pi }{2}}}$

Chọn đáp án B