Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục và $\Large f(x)>0$ trên đ

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục và $\Large f(x)>0$ trên đoạn [0;2] đồng thời thỏa mãn $\Large {f}'(0)=1$ , $\Large f(0)=2$ và $\Large f(x).{f}''(x)+{{\left| \dfrac{f(x)}{x+2} \right|}^{2}}={{\left| {f}'(x) \right|}^{2}}$. Tính $\Large {{f}^{2}}(1)+{{f}^{2}}(2)$ bằng ?

• A.

  20

• B.

  10

• C.

  15

• D.

  25

Ta có: 

$\Large f(x).{f}''(x)+{{\left[ \dfrac{f(x)}{x+2} \right]}^{2}}={{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{f(x).{f}''(x)-{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}}{{{\left[ f(x) \right]}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{(x+2)}^{2}}}$

$\Large \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{f}'(x)}{f(x)} \right)}^{\prime }}=-\dfrac{1}{{{(x+2)}^{2}}}$

Lấy nguyên hàm hai vế $\Large \Rightarrow \dfrac{{f}'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x+2}+C$

Cho $\Large x=0\Rightarrow \dfrac{{f}'(0)}{f(0)}=\dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+C\Rightarrow C=0$

Khi đó $\Large \dfrac{{f}'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x+2}\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'(x)}{f(x)}dx=\int{\dfrac{1}{x+2}dx}}$$\Large \Rightarrow \ln \left| f(x) \right|=\ln \left| x+2 \right|+C$

Do đó $\Large \ln \left| f(x) \right|=\ln \left| x+2 \right|\Leftrightarrow \left| f(x) \right|=\left| x+2 \right|$

Vì $\Large f(x)>0$ trên đoạn [0;2] nên $\Large f(x)=x+2,\forall x\in \left[ 0;2 \right]$

Ta có $\Large f(1)=3,f(2)=4\Rightarrow {{f}^{2}}(1)+{{f}^{2}}(2)={{3}^{3}}+{{4}^{2}}=25$

Chọn đáp án D