Cho hàm số $\Large f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trê

Cho hàm số $\Large f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] sao cho $\Large f(1)=1$ và $\Large f(x).f(1-x)={{e}^{{{x}^{2}}-x}},\forall x\in \left[ 0;1 \right]$. Tính $\Large I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}){f}'(x)}{f(x)}dx}$

• A.

  $\Large I=-\dfrac{1}{60}$

• B.

  $\Large I=\dfrac{1}{10}$

• C.

  $\Large I=-\dfrac{1}{10}$

• D.

  $\Large I=\dfrac{1}{60}$

Đặt $\Large \left\{ \begin{align}  & u=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \\  & dv=\dfrac{{f}'(x)}{f(x)}dx \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=(6{{x}^{2}}-6x)dx \\  & v=\ln f(x) \\ \end{align} \right.$ ( do $\Large f(x)$ nhận giá trị dương trên đoạn [0;1] )

Ta có: $\Large I=(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}})\ln f(x)\left| \begin{align}  & 1 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large -\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(x)dx}$

$\Large =-\ln f(1)-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(x)dx}$

$\Large =\ln 1-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(x)dx=-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(x)dx}}$

Đặt $\Large t=1-x\Rightarrow dt=-dx$

Ta có: $\Large I=\int\limits_{1}^{0}{\left[ 6(1-{{t}})^{2}-6(1-t) \right]\ln f(1-t)dt}$$\Large =-\int\limits_{0}^{1}{(6{{t}^{2}}-6t)\ln f(1-t)dt}$ $\Large =-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(1-x)dx}$

Suy ra $\Large 2I=-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(x)dx-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln f(1-x)dx}}$

$\Large =-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln \left[ f(x)+f(1-x) \right]dx}$

$\Large =-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln \left[ f(x).f(1-x) \right]dx=-\int\limits_{0}^{1}{(6{{x}^{2}}-6x)\ln {{e}^{{{x}^{2}}-x}}dx}}$

$\Large =-6\int\limits_{0}^{1}{{{({{x}^{2}}-x)}^{2}}dx=-6\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}})dx=-\dfrac{1}{5}}}$

Như vậy $\Large 2I=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow I=-\dfrac{1}{10}$

Chọn đáp án C