Cho hàm số $\Large f(x)$ xác định trên $\Large R\backslash \left\{ \df

Cho hàm số $\Large f(x)$ xác định trên $\Large R\backslash \left\{ \dfrac{1}{3} \right\}$ thỏa mãn $\Large {f}'(x)=\dfrac{3}{3x-1}; f(0)=1$ và $\Large f\left( \dfrac{2}{3} \right)=2$ . Giá trị của biểu thức $\Large f(-1)+f(3)$ bằng.

• A.

  $\Large 3+5\ln 2$

• B.

  $\Large -2+5\ln 2$

• C.

  $\Large 4+5\ln 2$

• D.

  $\Large 2+5\ln 2$

Từ $\Large {f}'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\to f(x)=\int{\dfrac{3dx}{3x-1}}$ $\Large = \left\{ \begin{align}  & \ln \left| 3x-1 \right|+{{C}_{1}},khi x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right) \\  & \ln \left| 3x-1 \right|+{{C}_{2}},khi x\in \left( \dfrac{1}{3};+\infty  \right) \\ \end{align} \right.$

Ta có: $\Large \left\{ \begin{align}  & f(0)=1 \\  & f\left( \dfrac{2}{3} \right)=2 \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 0+{{C}_{1}}=1 \\  & 0+{{C}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{C}_{1}}=1 \\  & {{C}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{align}  & \ln \left| 3x-1 \right|+1,khi x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right) \\  & \ln \left| 3x-1 \right|+2,khi x\in \left( \dfrac{1}{3};+\infty  \right) \\ \end{align} \right.$

Khi đó: $\Large f(-1)+f(3)= \ln 4+1+\ln 8+2= 3+\ln 32= 3+5\ln 2\to $ đáp án A