Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\Large 2^x+2^y=4$. Giá trị lớn nh

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\Large 2^x+2^y=4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P=(2x^2+y)(2y^2+x)+9xy$ là

• A. 18.
• B. 12.
• C. 16.
• D. 21.

Chọn A

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\Large 4=2^x+2^y \geq 2\sqrt{2^x.2^y} \Leftrightarrow \sqrt{2^{x+y}} \leq 2 \Leftrightarrow x+y \leq 2$.

Lại có: $\Large xy \leq \left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2 \leq 1$. Khi đó: $\Large P=(2x^2+y)(2y^2+x)+9xy=2(x^3+y^3)+4x^2y^2+10xy$

$\Large =2(x+y)\big[(x+y)^2-3xy\big]+4(xy)^2+10xy \leq 4(4-3xy)+4(xy)^2+10xy$ $\Large =16+2(xy)^2+2xy(xy-1) \leq 18$.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 18 khi $\Large x=y=1$.