Xét các số phức $\Large z, w$ thỏa mãn $\Large |z|=2$, $\Large |iw-2+5

Xét các số phức $\Large z, w$ thỏa mãn $\Large |z|=2$, $\Large |iw-2+5i|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\Large |z^2-wz-4|$ bằng

• A. 9.
• B. 6.
• C. 10.
• D. 8.

Chọn D

Ta có $\Large |z|=2\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\Large z$ là đường tròn tâm $\Large I_1(0; 0)$, bán kính $\Large R_1=2$.

$\Large |iw-2+5i|=1\Leftrightarrow |w+2i+5|=1\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\Large w$ là đường tròn tâm $\Large I_2(-5; -2)$, bán kính $\Large R_2=1$.

Đặt $\Large T=\left|z^2-wz-4\right|=\left|z^2-wz-z\overline{z}\right|$ $\Large =|z|\left|z-w-\overline{z}\right|=2\left|z-w-\overline{z}\right.|$

Đặt $\Large z=a+bi, (a, b\in\mathbb{R})$ $\Large \Rightarrow \overline{z}=a-bi\Rightarrow z-\overline{z}=2bi$ $\Large \Rightarrow T=2|2bi-w|$

Gọi $\Large M(0; 2b)$ là điểm biểu diễn số phức $\Large 2bi$, $\Large N$ là điểm biểu diễn số phức $\Large w$ $\Large \Rightarrow T=2MN$

$\Large T_{\min}\Leftrightarrow MN_{\min}$

Do $\Large |z|=2\Rightarrow a^2+b^2=4$ $\Large \Leftrightarrow -2\leq b\leq 2$ $\Large \Leftrightarrow -4\leq 2b\leq 4$

$\Large \Rightarrow$ tập hợp các điểm $\Large M$ là đoạn $\Large AB$ với $\Large A(0; -4), B(0; 4)$

Ta dễ dàng suy ra $\Large MN_{\min}=4$ $\Large \Leftrightarrow N(-4; -2), M(0; -2)$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của T là T= 2MN = 2.4 = 8.