Cho hai số phức $\Large z_1, z_2$ thỏa mãn $\Large |z_1-1+i|=1$, $\Lar

Cho hai số phức $\Large z_1, z_2$ thỏa mãn $\Large |z_1-1+i|=1$, $\Large |z_2+1-i|=2$ và $\Large |z_1-z_2-2+2i|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $\Large |3z_1+2z_2-1-5i|$ bằng

• A.

  $\Large 6+\sqrt{37}$.

• B.

  $\Large 5+\sqrt{32}$.

• C.

  $\Large 6+\sqrt{11}$.

• D.

  $\Large 6+\sqrt{13}$.

Chọn A

Đặt $\Large w_1=z_1-1+i$, $\Large w_2=z_2+1-i$ nên $\Large w_1-w_2=z_1-z_2-2+2i$

Khi đó: $\Large |w_1|=1, |w_2|=2, |w_1-w_2|=\sqrt{3}$.

Gọi $\Large T=|3z_1+2z_2-1-5i|=|3(w_1+1-i)+2(w_2-1+i)-1-5i|$$\Large =|3w_1+2w_2-6i|$

Đặt $\Large n=3w_1+2w_2$.

+ Gọi $\Large A$ là điểm biểu diễn cho số phức $\Large w_1$, $\Large B$ là điểm biểu diễn cho số phức $\Large w_2$, $\Large C$ là điểm biểu diễn cho số phức $\Large n$ và điểm $\Large M(0; 6)$

Khi đó: $\Large OA=1; OB=2$ và vì $\Large |w_1-w_2|=\sqrt{3}\Rightarrow AB=\sqrt{3}$ nên tam giác $\Large OAB$ vuông tại $\Large A$.

+ Ta có: $\Large \overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$

$\Large \Rightarrow OC^2=9OA^2+4OB^2+12\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

$\Large \Rightarrow OC^2=9OA^2+4OB^2+12.|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.\cos (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$.

$\Large \Rightarrow OC^2=9OA^2+4OB^2+12OA.OB.\cos AOB$

$\Large \Rightarrow OC^2=9OA^2+4OB^2+12OA.OB.\dfrac{OA}{OB}$

$\Large \Rightarrow OC^2=9.1+4.4+12.1=37$.

Vậy $\Large |n|=\sqrt{37}$.

+ Ta có $\Large MC\leq MO+OC$. Dấu "=" xảy ra khi $\Large O$ nằm giữa $\Large M$ và $\Large C$.

$\Large T=|3w_1+2w_2-6i|=|\overrightarrow{MC}|$

Khi đó $\Large T_{\max}\Leftrightarrow MC_{\max}$

Suy ra $\Large T_{\max}=\sqrt{0^2+6^2}+OC=6+|n|=6+\sqrt{37}$.