Cho các số thực $\Large a, b$ thỏa mãn $\Large |a| < 1$; $\Large |b| <

Cho các số thực $\Large a, b$ thỏa mãn $\Large |a| < 1$; $\Large |b| < 1$. Tìm giới hạn $\Large I=\mathrm{lim}\dfrac{1+a+a^2+...+a^n}{1+b+b^2+...+b^n}$.

• A.

  $\Large +\infty$.

• B.

  $\Large -\infty$.

• C.

  $\Large \dfrac{1-b}{1-a}$.

• D.

  1.

Chọn C.

Ta có $\Large 1, a, a^2,..., a^n$ là một cấp số nhân công bội $\Large 1+a+a^2+...+a^n=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}$

Tương tự $\Large 1+b+b^2+...+b^n=\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}$

Suy ra $\Large \mathrm{lim}I=\mathrm{lim}\dfrac{\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\dfrac{1-b}{1-a}$

(Vì $\Large |a| < 1$, $\Large |b < 1|\Rightarrow \mathrm{lim}a^{n+1}=\mathrm{lim}b^{n+1}=0$).