Vị trí, vận tốc khi biết quan hệ năng lượng
Lý thuyết về Vị trí, vận tốc khi biết quan hệ năng lượng
Một số chú ý trong giải nhanh bài toán năng lượng
+) Thời gian liên tiếp để động năng và thế năng bằng nhau: $t=\dfrac{T}{4}$
+) Vị trí có ${{\text{W}}_{d}}=n.{{\text{W}}_{t}}\Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{\sqrt{n+1}}$
+) Vị trí có ${{\text{W}}_{d}}=n.{{\text{W}}_{t}}\Rightarrow \left| \dfrac{{{a}_{m\text{ax}}}}{a} \right|=\dfrac{{{\omega }^{2}}.A}{{{\omega }^{2}}.x}=\left| \dfrac{A}{x} \right|=\sqrt{n+1}$
+) Khi ${{\text{W}}_{t}}=n.{{\text{W}}_{d}}\Rightarrow v=\pm \dfrac{{{V}_{m\text{ax}}}}{\sqrt{n+1}}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Treo hai vật có khối lượng m và 2m vào cùng một lò xo và kích thích để chúng dao động điều hòa với cùng một cơ năng nhất định, tỉ số biên độ của trường hợp 1 và trường hợp 2
- A
- B
- C
- D
Biểu thức cơ năng với vật 1: $ {{\text{W}}_{1}}=\dfrac{1}{2}k{{A}_{1}}^{2} $
Biểu thức cơ năng với vật 1: $ {{\text{W}}_{2}}=\dfrac{1}{2}k{{A}_{2}}^{2} $
Mà $ {{\text{W}}_{1}}={{\text{W}}_{2}} $ $ \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{{A}_{1}}^{2}=\dfrac{1}{2}k{{A}_{2}}^{2} $ $ \Rightarrow {{A}_{1}}={{A}_{2}} $ $ \Rightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=1 $
Câu 2: Hai con lắc đơn dao động điều hòa cùng một nơi trên trái đất, có năng lượng dao động bằng nhau. Quả nặng của chúng có cùng khối lượng, chiều dài dây treo con lắc thứ nhất gấp đôi chiều dài dây treo con lắc thứ hai, giữa các biên độ góc của hai con lắc có mối quan hệ sau?
- A
- B
- C
- D
Cơ năng của con lắc 1: $ {{\text{W}}_{1}}=\dfrac{mg{{\ell }_{1}}{{\alpha }_{1}}^{2}}{2} $
Cơ năng của con lắc 1: $ {{\text{W}}_{2}}=\dfrac{mg{{\ell }_{2}}{{\alpha }_{2}}^{2}}{2} $
Mà $ {{\text{W}}_{1}}={{\text{W}}_{2}} $ $ $ $ \dfrac{mg{{\ell }_{1}}{{\alpha }_{1}}^{2}}{2}=\dfrac{mg{{\ell }_{2}}{{\alpha }_{2}}^{2}}{2} $ $ \Rightarrow 2{{\ell }_{2}}{{\alpha }_{1}}^{2}={{\ell }_{2}}{{\alpha }_{2}}^{2} $ $ \Rightarrow {{\alpha }_{1}}=\dfrac{{{\alpha }_{2}}}{\sqrt{2}} $
Câu 3: Mối quan hệ giữa li độ x, vận tốc v, và tần số góc $ \omega $ của một dao động điều hòa khi thế năng bằng ba lần động năng của hệ
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{t}}\text{=3}{{\text{W}}_{d}} $ $ \Rightarrow 3.\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}.{{x}^{2}} $ $ \Rightarrow \omega .x=\sqrt{3}v $
Câu 4: Mối liên hệ giữa li độ x, tốc độ v và tần số góc ω của một dao động điều hòa khi thế năng và động năng của hệ bằng nhau là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{t}}\text{=}{{\text{W}}_{d}} $ $ \Rightarrow \dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}.{{x}^{2}} $ $ \Rightarrow \omega .x=v $
Câu 5: Ở một thời điểm, li độ của một vật dao động điều hòa bằng 40% biên độ dao động, tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là
- A
- B
- C
- D
Li độ x: $ x=\dfrac{40}{100}A=\dfrac{2}{5}A $
$ \dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}-\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{x}^{2}}}-1=\dfrac{{{A}^{2}}}{\dfrac{4}{25}{{A}^{2}}}-1=\dfrac{25}{4}-1=\dfrac{21}{4} $
Câu 6: Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ A, li độ của vật khi động năng bằng hai lần thế năng của lò xo là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{d}}\text{=2}{{\text{W}}_{t}} $
$ \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}}=3{{\text{W}}_{t}} $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}=3.\dfrac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}} $ $ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{\sqrt{3}} $
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với tần số góc ω và biên độ A. Khi thế năng bằng 3 lần động năng thì tốc độ v của vật có biểu thức
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{t}}\text{=3}{{\text{W}}_{d}} $ $ \Rightarrow {{W}_{d}}+3{{W}_{d}}=\text{W} $ $ \Rightarrow 4{{W}_{d}}=\text{W} $ $ \Rightarrow {{W}_{d}}=\dfrac{\text{W}}{4} $ $ \Rightarrow \dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{8}m{{\omega }^{2}}.{{A}^{2}} $ $ \Rightarrow v=\dfrac{A\omega }{2} $
Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa dọc trục Ox, với biên độ A gốc tọa độ tại ví trí cân bằng, tại vị trí $ x=\dfrac{A}{2} $ tỉ số giữa thế năng và cơ năng là?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \dfrac{{{\text{W}}_{t}}}{\text{W}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{4} $
Câu 9: Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m gắn vào lò xo có độ cứng k đặt nằm ngang dao động điều hòa, mốc thế năng ở vị trí cân bằng, khi thế năng bằng $ \dfrac{1}{3} $ động năng thì lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn bằng
- A
- B
- C
- D
Cơ năng của hệ: $ \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}} $ mà $ {{\text{W}}_{d}}\text{=3}{{\text{W}}_{t}} $ $ \Rightarrow 4{{\text{W}}_{t}}=\text{W} $ $ \Rightarrow 4.\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}} $
$ \Rightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{4} $ $ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{2} $
Vì con lắc lò xo nằm ngang nên $ \Rightarrow x=\Delta \ell =\pm \dfrac{A}{2} $
Độ lớn lực đàn hồi: $ {{F}_{dh}}=k.\Delta \ell =\dfrac{kA}{2} $
Mà: $ {{F}_{dhm\text{ax}}}=kA $ $ \Rightarrow {{F}_{dh}}=\dfrac{kA}{2}=\dfrac{{{F}_{\text{max}}}}{2} $
Câu 10: Một vật dao động với biên độ A khi thế năng bằng n lần động năng thì li độ của vật là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{t}}\text{=n}{{\text{W}}_{d}} $
Mà $ \text{W}=\dfrac{1}{n}{{\text{W}}_{t}}+{{\text{W}}_{t}}=\dfrac{n+1}{n}{{\text{W}}_{t}} $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}=\dfrac{n+1}{n}.\dfrac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}} $ $ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} $
Câu 11: Ở một thời điểm, vận tốc của một vật dao động điều hòa bằng 20% vận tốc cực đại, tỉ số giữa cơ năng và động năng của vật là
- A
- B
- C
- D
Vận tốc v : $ v=\dfrac{20}{100}A\omega =\dfrac{1}{5}A\omega $
$ \dfrac{\text{W}}{{{\text{W}}_{d}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\text{m}{{\omega }^{2}}{{\text{A}}^{2}}}{\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}}{\dfrac{1}{25}{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}}=25 $
Câu 12: Một vật dao động điều hòa khi vận tốc của vật bằng nửa vận tốc cực đại của nó thì tỉ số giữa thế năng và động năng?
- A
- B
- C
- D
Theo bài ra: $ v=\dfrac{1}{2}{{v}_{\text{max}}} $ $ \Rightarrow A\omega =2v $
Ta có: $ \dfrac{{{\text{W}}_{t}}}{{{\text{W}}_{d}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\text{m}{{\omega }^{2}}{{\text{A}}^{2}}-\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}}{\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}}=\dfrac{\omega {{A}^{2}}-{{v}^{2}}}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{{{v}^{2}}}-1=4-1=3 $
Câu 13: Một vật dao động với biên độ A, tần số góc $ \omega $ khi động năng bằng n lần thế năng thì vận tốc của vật là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{d}}\text{=n}{{\text{W}}_{t}} $
Mà $ \text{W}={{\text{W}}_{d}}+\dfrac{1}{n}{{\text{W}}_{d}}=\dfrac{n+1}{n}{{\text{W}}_{d}} $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{2}\text{m}{{\omega }^{2}}{{\text{A}}^{2}}=\dfrac{n+1}{n}.\dfrac{1}{2}\text{m}{{\text{v}}^{2}} $ $ \Rightarrow v=\pm \dfrac{A\omega \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} $
Câu 14: Một chất điểm dao đông điều hòa với phương trình $ x=Ac\text{os(}\omega \text{t+}\varphi \text{)} $ Tỉ số giữa động năng và thế năng khi vật ở li độ x là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{\text{W}}_{d}}\text{=}\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}},{{\text{W}}_{t}}\text{=}\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}} $
Mà $ \dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\omega }^{2}}} $
Tại li độ x: $ {{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{v}^{2}}=({{A}^{2}}-{{x}^{2}}){{\omega }^{2}} $ $ \Rightarrow \dfrac{{{v}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\omega }^{2}}}=\dfrac{({{A}^{2}}-{{x}^{2}}){{\omega }^{2}}}{{{x}^{2}}{{\omega }^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{x}^{2}}}-1 $
Câu 15: Ở một thời điểm, li độ của một vật dao động điều hòa bằng 60% của biên độ dao động thì tỉ số của cơ năng và thế năng của vật là
- A
- B
- C
- D
Li độ x: $ x=\dfrac{60}{100}A=\dfrac{3}{5}A $
$ \dfrac{\text{W}}{{{\text{W}}_{t}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}}{\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{\dfrac{9}{25}{{A}^{2}}}=\dfrac{25}{9} $
Câu 16: Hai con lắc đơn dao động điều hòa cùng một nơi trên trái đất, có năng lượng dao động bằng nhau. Quả nặng của chúng có cùng khối lượng, chiều dài dây treo con lắc thứ nhất $ {{\ell }_{1}}=1m $ biên độ góc $ {{\alpha }_{1}} $ chiều dài dây treo con lắc thứ hai là $ {{\ell }_{2}}=1,44m $ biên độ góc $ {{\alpha }_{2}} $ , tỉ số giữa biên độ góc $ {{\alpha }_{1}} $ và $ {{\alpha }_{2}} $
- A
- B
- C
- D
Cơ năng của con lắc 1: $ {{\text{W}}_{1}}=\dfrac{mg{{\ell }_{1}}{{\alpha }_{1}}^{2}}{2} $
Cơ năng của con lắc 1: $ {{\text{W}}_{2}}=\dfrac{mg{{\ell }_{2}}{{\alpha }_{2}}^{2}}{2} $
Mà $ {{\text{W}}_{1}}={{\text{W}}_{2}} $ $ $ $ \Rightarrow \dfrac{mg{{\ell }_{1}}{{\alpha }_{1}}^{2}}{2}=\dfrac{mg{{\ell }_{2}}{{\alpha }_{2}}^{2}}{2} $ $ \Rightarrow 1.{{\alpha }_{1}}^{2}=1,44{{\alpha }_{2}}^{2} $ $ \Rightarrow {{\alpha }_{1}}=1,2{{\alpha }_{2}} $