Bài toán cơ bản của tổng hợp dao động
Lý thuyết về Bài toán cơ bản của tổng hợp dao động
1. Cho ${x_1} ;{x_2}$ là phương trình dao động thành phần và x là phương trình dao động tổng hợp.
$\left. \begin{align}& {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\ & {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$
+ Biên độ tổng hợp ${{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}({{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}})$
+ Pha ban đầu của dao động tổng hợp $\tan \varphi =\dfrac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}}$
2. Cho $\Delta \varphi =\left| {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right|$
$\Delta \varphi =0$: 2 dao động cùng pha $\left( \Delta \varphi =2k\pi \right)\left( k\in Z \right)$nên ${{A}_{Max}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}$
$\Delta \varphi =\pi$ : 2 dao động ngược pha $\left( \Delta \varphi =\left( 2k+1 \right)\pi \right)\left( k\in Z \right)$nên ${{A}_{Min}}=|{{A}_{1}}-{{A}_{2}}|$
$\Delta \varphi =\dfrac{\pi }{2}$ : 2 dao động vuông pha $\left( \Delta \varphi =\left( 2k+1 \right)\dfrac{\pi }{2} \right)\left( k\in Z \right)$
3. Biên độ dao động tổng hợp là A với: ${{A}_{\min }}\le A\le {{A}_{\max }}\Leftrightarrow \left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là $ {{x}_{1}}={{\text{A}}_{1}}\text{cos(}\omega \text{t+}{{\varphi }_{1}}) $ , $ {{x}_{2}}={{\text{A}}_{2}}\text{cos(}\omega \text{t+}{{\varphi }_{2}}) $ biên độ tổng hợp có giá trị cực đại khi
- A
- B
- C
- D
Biểu thức biên độ tổng hợp: $ {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{\text{A}}_{1}}{{A}_{2}}\text{cos}\Delta \varphi $
Biên độ có giá trị cực đại khi $ \text{cos}\Delta \varphi $ đạt giá trị lớn nhất $ \Rightarrow \text{cos}\Delta \varphi =1 $ $ \Rightarrow \Delta \varphi =k2\pi $ với k nguyên, vậy biên độ tổng hợp cực đại khi hai dao động cùng pha
Câu 2: Hai dao động điều hòa ngược pha khi
- A
- B
- C
- D
Hai dao động ngược pha khi độ lệch pha giữa hai dao động: $ \Delta \varphi =(2k+1)\pi $ (với k nguyên)
Câu 3: Hai dao động thành phần có biên độ lần lượt là 4cm và 12cm, biên độ dao động tổng hợp có thể nhận giá trị nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}} $ $ \Rightarrow 12-4\le A\le 12+4 $ $ \Rightarrow 8\le A\le 16 $ vậy A chỉ có thể nhận giá trị bằng 9cm trong các giá trị đã cho.
Câu 4: Hai dao động điều hòa có cùng phương, cùng tần số, ngược pha, có biên độ lần lượt là $ {{A}_{1}},{{A}_{2}} $ biên độ dao động tổng hợp của hai dao động này
- A
- B
- C
- D
Hai dao động điều hòa có cùng phương, cùng tần số, ngược pha nên $ \Delta \varphi =\pi +k2\pi $ mà biên độ tổng hợp 2 dao động: $ {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{\text{A}}_{1}}{{A}_{2}}\text{cos}\Delta \varphi ={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{\text{A}}_{1}}{{A}_{2}}={{({{A}_{1}}-{{A}_{2}})}^{2}} $
$ \Rightarrow A=\left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right| $
Câu 5: Hai dao động điều hòa vuông pha khi
- A
- B
- C
- D
Hai dao động vuông pha khi độ lệch pha giữa hai dao động: $ \Delta \varphi =(2k+1)\dfrac{\pi }{2} $ (với k nguyên)
Câu 6: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc là dao động điều hòa có đặc điểm nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Pha ban đầu của dao động tổng hợp: $ \tan \varphi =\dfrac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}co\operatorname{s}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}co\operatorname{s}{{\varphi }_{2}}} $ phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của dao động thành phần
Câu 7: Xét dao động tổng hợp của hai dao động thành phần có cùng tần số, biên độ dao động tổng hợp không phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Biểu thức biên độ tổng hợp: $ {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{\text{A}}_{1}}{{A}_{2}}\text{cos}\Delta \varphi $ nên biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc biên độ dao động thành phần và độ lệch pha của hai dao động
Câu 8: Cho hai dao động có cùng phương, cùng tần số, có phương trình lần lượt là: $ {{x}_{1}}=3cos(10t+\varphi)cm, $ $ {{x}_{1}}=4c\text{os(10t-}\dfrac{\pi }{2})cm $ , vận tốc cực đại lớn nhất mà vật có thể đạt được?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}} $ $ \Rightarrow 4-3\le A\le 4+3 $ $ \Rightarrow 1\le A\le 7 $
Biên độ tổng hợp có giá trị cực đại 7cm
Mà vận tốc cực đại lớn nhất đạt được: $ v=\omega .{{A}_{\text{max}}}=10.7=70cm/s $
Câu 9: Cho hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là $ {{x}_{1}}={{\text{A}}_{1}}\text{cos(}\omega \text{t+}{{\varphi }_{1}}) $ , $ {{x}_{2}}={{\text{A}}_{2}}\text{cos(}\omega \text{t+}{{\varphi }_{2}}) $ biên độ tổng hợp có giá trị nhỏ nhất
- A
- B
- C
- D
Biểu thức biên độ tổng hợp: $ {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{\text{A}}_{1}}{{A}_{2}}\text{cos}\Delta \varphi $
Biên độ có giá trị cực đại khi $ \text{cos}\Delta \varphi $ đạt giá trị lớn nhất $ \Rightarrow \text{cos}\Delta \varphi =-1 $ $ \Rightarrow \Delta \varphi =\pi +k2\pi $ với k nguyên, vậy biên độ tổng hợp cực tiểu khi hai dao động ngược pha
Câu 10: Hai dao động thành phần có biên độ lần lượt là 4cm và 9cm, biên độ dao động tổng hợp không thể nhận giá trị nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}} $ $ \Rightarrow 9-4\le A\le 9+4 $ $ \Rightarrow 5\le A\le 13 $ vậy A không thể nhận giá trị bằng 4cm trong các giá trị đã cho