Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
Lý thuyết về Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
1. Khái niệm hình nón
Khi quay một tam giác vuông góc AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình nón.
– Cạnh $OC$ tạo nên đáy của hình nón, là một hình nón tâm $O$.
– Cạnh $AC$ quét lên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của nó được gọi là một đường sinh, chẳng hạn $AD$ là một đường sinh .
– $A$ là đỉnh và $AO$ là đường cao của hình nón
2. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón
Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = 2\pi rl\]
Diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\]
($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh)
3. Thể tích hình nón
Công thức tính thể tích hình nón: \[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\]
($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh)
4. Thể tích hình nón cụt
\[V_{nc} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} \right)h\]
\[{S_{xq}} = \pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right)l\]
\[{S_{tp}} = \pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right)l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình nón có chiều cao $ h=10cm $ và thể tích $ V=1000\pi (c{{m}^{3}}) $ . Tính diện tích toàn phần của hình nón.
- A
- B
- C
- D
Ta có $ V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.10=1000\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=300\Rightarrow R=10\sqrt{3} $ Và $ {{R}^{2}}+{{h}^{2}}={{l}^{2}}\Leftrightarrow {{10}^{2}}+{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}={{l}^{2}}\Leftrightarrow l=20cm $
Diện tích toàn phần của hình nón là $ {{S}_{tp}}=\pi Rl+\pi {{R}^{2}}=\pi .10\sqrt{3}.20+\pi .300=\left( 300+200\sqrt{3} \right)\pi (c{{m}^{2}}) $ .
Câu 2: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước.Các bán kính đáy là $ 12cm $ và $ 6cm $ chiều cao là $ 15cm $ . Tính dung tích của xô là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ V=\dfrac{1}{3}\pi h({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}})=\dfrac{1}{3}\pi .15.({{12}^{2}}+12.6+{{6}^{2}})=1260\pi (c{{m}^{3}}) $ .
Câu 3: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là $ 10cm $ và $ 5cm $ chiều cao là $ 20cm $ . Tính dung tích của xô là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ V=\dfrac{1}{3}\pi h({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}})=\dfrac{1}{3}\pi .20.({{10}^{2}}+10.5+{{5}^{2}})=\dfrac{3500\pi }{3}(c{{m}^{3}}) $
Câu 4: Hình nón cụt có bán kính đáy lớn $ R $ , bán kính đáy nhỏ $ r $ và chiều cao $ h $ có thể tích là:
- A
- B
- C
- D
Hình nón cụt có bán kính đáy lớn $ R $ , bán kính đáy nhỏ $ r $ và chiều cao $ h $ có thể tích là $ V=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right)h $
Câu 5: Một hình nón có bán kính là $ 4cm, $ chiều cao bằng $ 3cm. $ Thể tích của hình nón bằng:
- A
- B
- C
- D
Thể tích của hình nón bằng: $ V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}.\pi {{.4}^{2}}.3=16\pi \left( c{{m}^{3}} \right). $
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy $ R=3\,(cm) $ và chiều cao $ h=4\,(cm) $ . Diện tích xung quanh của hình nón là
- A
- B
- C
- D
Vì $ {{R}^{2}}+{{h}^{2}}={{l}^{2}}\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{l}^{2}}\Leftrightarrow {{l}^{2}}=25\Rightarrow l=5cm $
Diện tích xung quanh của hình nón là $ {{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .3.5=15\pi (c{{m}^{2}}) $ .