Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Lý thuyết về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 
Xét $\Delta  = {b^2} - 4ac$:
– Nếu $∆ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}$ và ${x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$
– Nếu $∆ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$
– Nếu $∆ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$  có $a$$c$ trái dấu, tức là $ac < 0.$ Do đó $\Delta  = {b^2} - 4ac > 0$. Vì thế phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho phương trình $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $ có biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac > 0 $ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $

và biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ .

TH1. Nếu $ \Delta < 0 $ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu $ \Delta =0 $ thì phương trình có nghiệm kép: $ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a} $ .

TH3. Nếu $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} $ .

Vậy với $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} $ .

Câu 2: Cho phương trình $ {{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0 $ . Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ={{\left( 1-m \right)}^{2}}+4m=1-2m+{{m}^{2}}+4m=1+2m+{{m}^{2}}={{\left( 1+m \right)}^{2}} $ .

Câu 3: Cho phương trình $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $ có biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ . Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $

và biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ .

TH1. Nếu $ \Delta < 0 $ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu $ \Delta =0 $ thì phương trình có nghiệm kép: $ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a} $ .

TH3. Nếu $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} $ .

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi $ \Delta < 0 $ .

Câu 4: Cho phương trình $ 2{{x}^{2}}-3x-5=0 $ . Giá trị biệt thức $ \Delta $ của phương trình là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4.2.\left( -5 \right)=9+40=49 $ .

Câu 5: Công thức nào sau đây là đúng về biệt thức $ \Delta $ của phương trình bậc hai $ a{{x}^{2}}+x-1=0\,\left( a\ne 0 \right) $ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình bậc hai $ a{{x}^{2}}+x-1=0 $ có $ a=a,b=1,c=-1 $ nên $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.a.\left( -1 \right)=1+4a $ .

Câu 6: Cho các phương trình sau: $ {{x}^{2}}-2x+1=0\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1=0\,\,;\,\,2{{x}^{2}}-1=0\,\,;\,\,{{x}^{2}}+x+2=0 $ . Số phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình $ {{x}^{2}}-2x+1=0 $ có $ \Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.1=0 $ nên phương trình có nghiệm kép.

Phương trình $ -{{x}^{2}}+x+1=0 $ có $ a=-1,c=1\Rightarrow ac=-1 < 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Phương trình $ 2{{x}^{2}}-1=0 $ có $ a=2,c=-1\Rightarrow ac=-2 < 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Phương trình $ {{x}^{2}}+x+2=0 $ có $ \Delta ={{1}^{2}}-4.1.2=-7 < 0 $ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy có $ 2 $ phương trình thỏa mãn bài toán.