Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Lý thuyết về Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Quy tắc thế
Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 40x+3y=10\text{ }\left( 1 \right) \\ 20x-7y=5\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $ . Rút $ y $ theo $ x $ từ phương trình (1), thế vào phương trình (2) ta được phương trình nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
$ \left( 1 \right):40x+3y=10\Leftrightarrow y=\dfrac{10-40x}{3} $ . Thế vào phương trình (2) ta được:
$ 20x-7.\dfrac{10-40x}{3}=5\Leftrightarrow 60x-70+280x=15\Leftrightarrow 340x=85\Leftrightarrow 4x=1 $
Câu 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}y-2=0 \\ 5x-y=11 \end{array} \right. $ ta được nghiệm $ \left( a;b \right) $ . Tính $ 2a+b $ .
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}y-2=0 \\ 5x-y=11 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}\left( 5x-11 \right)-2=0 \\ y=5x-11 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 19x=57 \\ y=5x-11 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=4 \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=4 \end{array} \right.\Rightarrow 2a+b=10 \end{array} $
Câu 3: Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 5\text{x}-4y=3\text{ }\left( 1 \right) \\ 2\text{x}+y=4\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $ . Rút $ y $ theo $ x $ từ phương trình (2), rồi thế vào phương trình (1) ta được phương trình nào sau đây:
- A
- B
- C
- D
(2) suy ra $ y=4-2x $ . Thế vào (1) ta được $ 5x-4\left( 4-2x \right)=3\Leftrightarrow 13x=19\Leftrightarrow x=\dfrac{19}{13} $
Câu 4: $ m,n $ là các số thực sao cho hai đường thẳng $ \left( {{d}_{1}} \right):\left( 4m+1 \right)x+8\left( n+2 \right)y=11 $ và $ \left( {{d}_{2}} \right):\left( 3m+2 \right)x+5\left( n+1 \right)y=4 $ cắt nhau tại điểm $ M\left( -1;3 \right) $ . Tính $ m+n $
- A
- B
- C
- D
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $ hệ $ \left\{ \begin{array}{l} \left( 4m+1 \right)x+8\left( n+2 \right)y=11 \\ \left( 3m+2 \right)x+5\left( n+1 \right)y=4 \end{array} \right. $ có nghiệm $ \left( x;y \right)=\left( -1;3 \right) $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( 4m+1 \right)\left( -1 \right)+8\left( n+2 \right).3=11 \\ \left( 3m+2 \right)\left( -1 \right)+5\left( n+1 \right).3=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m+6n=-9 \\ -3m+15n=-9 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=6n+9 \\ -3\left( 6n+9 \right)+15n=-9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-12+7n \\ -3n=18 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-27 \\ n=-6 \end{array} \right.\Rightarrow m+n=-33 \end{array} $
Câu 5: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế $ \left\{ \begin{array}{l} x-6y=17 \\ 5x+y=23 \end{array} \right. $
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} x-6y=17 \\ 5x+y=23 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=17+6y \\ 5\left( 17+6y \right)+y=25 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=17+6y \\ 31y=-62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=5 \\ y=-2 \end{array} \right. $
Câu 6: Giải hệ sau bằng phương pháp thế $ \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+y=2 \\ 8\text{x}+3y=5 \end{array} \right. $ thu được nghiệm $ \left( a;b \right) $ . Tính $ a.b $
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+y=2 \\ 8\text{x}+3y=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2-4x \\ 8\text{x}+3\left( 2-4x \right)=5 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2-4x \\ -4x=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{4} \\ y=1 \end{array} \right.\Rightarrow ab=\dfrac{1}{4} \end{array} $
Câu 7: Tìm $ a,b $ để đường thẳng $ \left( d \right):y=ax+b $ đi qua hai điểm $ A\left( 1;5 \right) $ và $ B\left( -3;-7 \right) $ .
- A
- B
- C
- D
$ \left( d \right) $ qua $ A\left( 1;5 \right) $ $ \Leftrightarrow a+b=5\Leftrightarrow b=5-a\text{ }\left( 1 \right) $
$ \left( d \right) $ qua $ B\left( -3;-7 \right) $ $ \Leftrightarrow -3a+b=-7\text{ }\left( 2 \right) $ .
Thế (1) vào (2) ta được $ -3a+5-a=-7\Leftrightarrow 4a=12\Leftrightarrow a=3 $ $ \Rightarrow b=2 $