Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Điều kiện: $ x\ne 0 $ .

Ta có:

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{2}{x}+y=3 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{4}{x}+2y=6 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{5}{x}=10 \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ y=-1 \end{array} \right.(TM) \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)\Rightarrow \dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{2} $

Ta có:

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+\dfrac{y}{2}=\dfrac{2x-3}{2} \\ \dfrac{x}{2}+3y=\dfrac{25-9y}{8} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+y=2x-3 \\ 4x+24y=25-9y \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-3 \\ 4x+33y=25 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=31 \\ y=-3 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 31;-3 \right) $ . $ \Rightarrow x > 0;y < 0 $

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=3 \\ 2x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x=10 \\ 3x+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ 6+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=-3 \end{array} \right. $ .

Vậy hệ có nghiệm là $ \left( 2;-3 \right) $ .

Theo đề bài ta có:

$ \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4a-6b=10 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ -5b=15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-3 \end{array} \right.\Rightarrow a.b=-6 $

$ \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+3y=13\text{ }\left( 1 \right) \\ 5\text{x}-3y=-31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $

Lấy (1) + (2) ta được: $ 9x=-18\Leftrightarrow x=-2. $ Thay vào (1) suy ra $ 3y=21\Rightarrow y=7 $ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( -2;7 \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}+5y=19\text{ }\left( 1 \right) \\ 3\text{x}+5y=31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $ . Lấy (1) – (2) ta được : $ 4x=-12\Leftrightarrow x=-3. $

Thay vào $ \left( 1 \right) $ ta được: $ 5y=40\Leftrightarrow y=8 $ . Vậy hệ có nghiệm $ \left( -3;8 \right) $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}-5y=3 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 14x-10y=6 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x=68 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=5 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow a+b=9 $

Ta có

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x\sqrt{2}+y\sqrt{6}=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ (\sqrt{6}+\sqrt{3})y=1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x\sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x=1 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( 1;\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \right) $

$ \Rightarrow x+3\sqrt{3}y=1+3\sqrt{2}-3=3\sqrt{2}-2 $

Ta có

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5(x+2y)-3(x-y)=99 \\ x-3y=7x-4y-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x+10y-3x+3y=99 \\ x-3y-7x+4y=-17 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+13y=99 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 6x+39y=297 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -6x+y=-17 \\ 40y=280 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=7 \\ x=4 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 4;7 \right) $