Định nghĩa đường tròn, tính chất của đường tròn

Định nghĩa đường tròn, tính chất của đường tròn

4.1/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định nghĩa đường tròn, tính chất của đường tròn

Lý thuyết về Định nghĩa đường tròn, tính chất của đường tròn

1. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, kí hiệu $(O;R)$, là hình gồm các điểm cách $O$ một khoảng bằng $R.$

Nếu $A$ nằm trên đường tròn $(O;R)$ thì $OA=R$
Nếu $A$ nằm trong đường tròn $(O; R)$ thì $OA<R$
Nếu $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ thì $OA>R.$

2. Định lí về sự xác định một đường tròn

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tâm $O$ của đường tròn đi qua ba điểm $A, B, C$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC.$

3. Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng: tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đối xứng là bất kỳ đường kính nào.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hình thoi $ ABCD $ có cạnh bằng $ 10cm $ và $ \widehat{A}={{60}^{0}} $ . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của $ AB,BC,CD,DA $ . Biết sáu điểm $ E,B,F,G,D,H $ thuộc cùng một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ \widehat{A}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta ABD;\Delta CBD $ là 2 tam giác đều $ \Rightarrow OB=OD=5cm $

Ta có $ OE;OH $ là 2 đường trung bình trong tam giác $ ABD $ nên $ OE=OH=\dfrac{AB}{2}=5cm $

Ta có $ OF;OG $ là 2 đường trung bình trong tam giác $ CBD $ nên $ OF=OG=\dfrac{BC}{2}=5cm $

Vậy sáu điểm $ E,B,F,G,D,H $ thuộc cùng một đường tròn tâm O bán kính $ R=5cm $

Câu 2: Cho hình vuông $ ABCD $ , có cạnh bằng $ 8cm $ . Khi đó bán kính đường tròn qua 4 đỉnh của hình vuông là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có: $ IA=IB=IC=ID $ (tính chất của hình vuông)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I.

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

$ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{8}^{2}}=2.64\Rightarrow AC=8\sqrt{2}cm \\ \Rightarrow IA=\dfrac{AC}{2}=4\sqrt{2}cm \end{array} $

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , có $ AB=15\,cm;AC=20\,cm $ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $ BC $ , bán kính là $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

Theo định lý Pytago ta có $ BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=25 $ nên bán kính $ R=\dfrac{25}{2} $ .

Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Khi đó điểm K là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} D\in \left( O;\dfrac{BC}{2} \right)\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}} \\ E\in \left( O;\dfrac{BC}{2} \right)\Rightarrow \widehat{BEC}={{90}^{0}} \end{array} $

Khi đó K là trực tâm tam giác ABC

Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Khi đó số khẳng định đúng, trong các khẳng định sau là

I) Nếu BC là đường kính của đường tròn thì $ \widehat{BAC}={{90}^{0}} $

II) Nếu $ AB=AC $ thì AO vuông góc với BC.

III) Nếu tam giác ABC không vuông thì điểm O nằm bên trong tam giác đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khẳng định (I) đúng

Ta có O thuộc đường trung trực của BC nên nếu $ AB=AC $ thì đường trung trực của BC sẽ qua A $ \Rightarrow OA\bot BC $

Khẳng định (III) là sai. Do tam giác ABC nếu có 1 góc tù thì O nằm ngoài tam giác ABC

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ có các đường cao $ BD,CE $ . Biết rằng bốn điểm $ B,E,D,C $ cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $ .

Xét tam giác $ BEC $ vuông tại $ E $ có $ EI=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ (vì $ EI $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác $ BDC $ vuông tại $ D $ có $ DI=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ (vì $ DI $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có $ ID=IE=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ nên $ I $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ DEBC $ và bán kính $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

Câu 7: Trong các câu sau, có bao nhiêu khẳng định sai?

I. Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung

II. Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt

III.Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

I. Đúng

II. Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau

III. Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác.

Câu 8: Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có $ AB=8cm,BC=6cm $ . Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh $ A,B,C,D $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là giao hai đường chéo, ta có $ IA=IB=IC=ID $ (vì $ BD=AC $ và $ I $ là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm $ A,B,C,D $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ R=\dfrac{AC}{2} $

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông $ ABC $ ta có $ AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10 $ nên $ R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\,cm $ .

Vậy bán kính cần tìm là $ R=5\,cm $ .

Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD có $ AD=8cm,CD=6cm $ . Biết rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

$ IA=IB=IC=ID $ (tính chất hình chữ nhật)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính $ \dfrac{AC}{2} $

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

$ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}={{5}^{2}}\Rightarrow AC=5\Rightarrow IA=\dfrac{5}{2} $

Câu 10: Chọn khẳng định SAI trong các khẳng định sau:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một đường tròn. Nên khẳng định qua ba điểm không thẳng hàng, xác định được vô số đường tròn là khẳng định SAI.

Câu 11: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ ABCD $ cạnh $ a $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ O $ là giao hai đường chéo của hình vuông $ ABCD $ . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có $ OA=OB=OC=OD $ nên $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ , bán kính $ R=OA=\dfrac{AC}{2} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ ta có $ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} $

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ cạnh $ a $ là giao điểm hai đường chéo, bán kính là $ R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} $ .

Câu 12: Cho hình vuông $ ABCD $ . Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $ . Gọi $ E $ là giao điểm của $ CM $ và $ DN $ . Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm $ A,D,E,M $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

+ Ta có $ \Delta DCN=\Delta CMB $ (c – g – c)

$ \Rightarrow \widehat{CDN}=\widehat{ECN} $ nên $ \widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN}=90{}^\circ $ suy ra $ \widehat{CEN}=90{}^\circ \Rightarrow CM\bot DN $

+ Gọi $ I $ là trung điểm của $ DM $ .

Xét tam giác vuông $ ADM $ ta có $ AI=ID=IM=\dfrac{DM}{2} $ .

Xét tam giác vuông $ DEM $ ta có $ EI=ID=IM=\dfrac{DM}{2} $ .

Nên $ EI=ID=IM=IA=\dfrac{DM}{2} $ .

Do đó bốn điểm $ A,D,E,M $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ \dfrac{DM}{2} $ .

Câu 13: Cho tam giác đều $ ABC $ cạnh bằng $ 3cm $ . Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ $ AH\bot BC $ . Ta có: $ O\in AH $

Trong tam giác vuông $ ABH $ , ta có: $ \text{AH}=\text{AB}.\sin \widehat{\text{C}}=3.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} $

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên:

$ \text{OA}=\dfrac{2}{3}\text{AH}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} $

Câu 14: Trên mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho 2 điểm $ A\left( -2;3 \right);B\left( 2;\sqrt{5} \right) $ và đường tròn $ \left( O;3 \right) $ . Khi đó ta có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ OA=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{13} > R=3 $ ; khi đó điểm A nằm bên ngoài đường tròn.

Ta có $ OB=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{5} \right)}^{2}}}=3=R $ ; khi đó điểm B nằm bên trên đường tròn.

Câu 15: Cho tam giác đều $ ABC $ cạnh bằng $ a $ , các đường cao là $ BM $ và $ CN $ . Gọi $ O $ là trung điểm cạnh $ BC $ . Đường tròn đi qua bốn điểm $ B,N,M,C $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ D $ là trung điểm $ BC $ 

Xét hai tam giác vuông $ BNC $$ BMC $$ ND,MD $ là hai đường trung tuyến.

$ \Rightarrow DN=DB=DC=DM=\dfrac{BC}{2} $ nên bốn điểm $ B,N,M,C $ cùng thuộc đường tròn tâm $ D $ bán kính $ \dfrac{BC}{2} $ .

Câu 16: Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ , đường cao $ AH=4cm,BC=6cm $ . Đường vuông góc với $ AC $ tại $ C $ cắt đường thẳng $ AH $ ở $ D $ . Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm $ A,B,D,C $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ câu trước ta có bốn điểm $ A,B,D,C $ cùng thuộc đường tròn đường kính $ AD $ suy ra ta cần tính độ dài $ AD $ .

Vì $ BC=6cm\Rightarrow BH=3cm $ . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ AHB $ ta được $ AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 $ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ ABD $ ta có $ A{{B}^{2}}=AH.AD\Rightarrow AD=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AH}=\dfrac{{{5}^{2}}}{4}=6,25 $ .

Vậy đường kính cần tìm là $ 6,25cm $ .

Câu 17: Có bao nhiêu đường tròn đi qua 2 điểm phân biệt:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì tâm chúng nằm trên trung trực của của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

Câu 18: Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ , đường cao $ AH=4cm,BC=6cm $ . Đường vuông góc với $ AC $ tại $ C $ cắt đường thẳng $ AH $ ở $ D $ . Chọn câu sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ có đường cao $ AH $ nên $ AH $ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB} $ .

Suy ra $ \Delta ACD=\Delta ABD $ (c – g – c) nên $ \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90{}^\circ $ và $ CD=DB $ .

Lấy $ I $ là trung điểm $ AD $ .

Xét hai tam giác vuông $ ABD $ và $ ACD $ có $ IA=ID=IB=IC=\dfrac{AD}{2} $ .

Nên $ I $ là điểm cách đều $ A,B,D,C $ hay $ A,B,D,C $ cùng nằm trên đường tròn tâm $ I $ đường kính $ AD $ .

Câu 19: Cho tam giác đều $ ABC $ cạnh bằng $ a $ , các đường cao là $ BM $ và $ CN $ . Gọi $ D $ là trung điểm cạnh $ BC $ . Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta BNC $ có $ CN\bot AB $ mà $ D $ là trung điểm của $ BC $ nên $ DN=DC=DB\,\,\left( 1 \right) $ .

Xét $ \Delta BMC $ có $ BM\bot AC $ mà $ D $ là trung điểm của $ BC $ nên $ BD=DM=DC\,\,\left( 2 \right) $ .

Từ $ \left( 1 \right) $ và $ \left( 2 \right) $ nên ta có $ BD=DC=DM=DN $

Vậy 4 điểm $ B,C,M,N $ cùng thuộc đường tròn tâm $ D $ đường kính $ BC $ .

Câu 20: Cho hình vuông $ ABCD $ , $ O $ là giao điểm của hai đường chéo, $ OA=\sqrt{2}cm $ . Vẽ đường tròn tâm $ A $ bán kính $ 2cm $ . Khi đó ta có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ OA=\sqrt{2} < 2 $ nên điểm $ O $ nằm trong $ \left( A;2 \right) $

$ AB=2 $ nên điểm $ B $ nằm trên $ \left( A;2 \right) $

$ AD=2 $ nên điểm $ D $ nằm trên $ \left( A;2 \right) $

$ AC=2\sqrt{2} > 2 $ nên điểm $ C $ nằm ngoài $ \left( A;2 \right) $

Câu 21: Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có $ AB=12cm,BC=5cm $ . Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh $ A,B,C,D $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là giao hai đường chéo, ta có $ IA=IB=IC=ID $ (vì $ BD=AC $ và $ I $ là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm $ A,B,C,D $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ R=\dfrac{AC}{2} $

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông $ ABC $ ta có $ AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=13 $ nên $ R=\dfrac{AC}{2}=6,5\,cm $ .

Vậy bán kính cần tìm là $ R=6,5\,cm $ .

Câu 22: Trên mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ , xác định vị trí tương đối của điểm $ A(-3;-4) $ và đường tròn tâm là gốc toạ độ $ O $ , bán kính $ R=3 $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ OA=\sqrt{{{(-3-0)}^{2}}+{{(-4-0)}^{2}}}=5 > 3=R $ nên $ A $ nằm bên ngoài đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=3 $ .

Câu 23: Bán kính $ R $ của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông $ ABCD $ cạnh $ 3\,cm $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ O $ là giao hai đường chéo của hình vuông $ ABCD $ . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có $ OA=OB=OC=OD $ nên $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ , bán kính $ R=OA=\dfrac{AC}{2} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ ta có $ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{3}^{2}}=18\Rightarrow AC=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} $

Vậy $ R=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} $ .

Câu 24: Trên mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ , xác định vị trí tương đối của điểm $ A(-1;-1) $ và đường tròn tâm là gốc toạ độ $ O $ , bán kính $ R=2 $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ OA=\sqrt{{{(-1-0)}^{2}}+{{(-1-0)}^{2}}}=\sqrt{2} < 2=R $ nên $ A $ nằm trong đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=2 $ .

Câu 25: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , có $ AB=5cm;AC=12cm $ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $ BC $ , bán kính là $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

Theo định lý Pytago ta có $ BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=13 $ nên bán kính $ R=\dfrac{13}{2} $ .