Định nghĩa đường tròn, tính chất của đường tròn

Do $ \widehat{A}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta ABD;\Delta CBD $ là 2 tam giác đều $ \Rightarrow OB=OD=5cm $

Ta có $ OE;OH $ là 2 đường trung bình trong tam giác $ ABD $ nên $ OE=OH=\dfrac{AB}{2}=5cm $

Ta có $ OF;OG $ là 2 đường trung bình trong tam giác $ CBD $ nên $ OF=OG=\dfrac{BC}{2}=5cm $

Vậy sáu điểm $ E,B,F,G,D,H $ thuộc cùng một đường tròn tâm O bán kính $ R=5cm $

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có: $ IA=IB=IC=ID $ (tính chất của hình vuông)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I.

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

$ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{8}^{2}}=2.64\Rightarrow AC=8\sqrt{2}cm \\ \Rightarrow IA=\dfrac{AC}{2}=4\sqrt{2}cm \end{array} $

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $ BC $ , bán kính là $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

Theo định lý Pytago ta có $ BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=25 $ nên bán kính $ R=\dfrac{25}{2} $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} D\in \left( O;\dfrac{BC}{2} \right)\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}} \\ E\in \left( O;\dfrac{BC}{2} \right)\Rightarrow \widehat{BEC}={{90}^{0}} \end{array} $

Khi đó K là trực tâm tam giác ABC

Khẳng định (I) đúng

Ta có O thuộc đường trung trực của BC nên nếu $ AB=AC $ thì đường trung trực của BC sẽ qua A $ \Rightarrow OA\bot BC $

Khẳng định (III) là sai. Do tam giác ABC nếu có 1 góc tù thì O nằm ngoài tam giác ABC

Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $ .

Xét tam giác $ BEC $ vuông tại $ E $ có $ EI=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ (vì $ EI $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác $ BDC $ vuông tại $ D $ có $ DI=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ (vì $ DI $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có $ ID=IE=IB=IC=\dfrac{BC}{2} $ nên $ I $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ DEBC $ và bán kính $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

I. Đúng

II. Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau

III. Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác.

Gọi $ I $ là giao hai đường chéo, ta có $ IA=IB=IC=ID $ (vì $ BD=AC $ và $ I $ là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm $ A,B,C,D $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ R=\dfrac{AC}{2} $

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông $ ABC $ ta có $ AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10 $ nên $ R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\,cm $ .

Vậy bán kính cần tìm là $ R=5\,cm $ .

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

$ IA=IB=IC=ID $ (tính chất hình chữ nhật)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính $ \dfrac{AC}{2} $

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

$ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}={{5}^{2}}\Rightarrow AC=5\Rightarrow IA=\dfrac{5}{2} $

Vì qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một đường tròn. Nên khẳng định qua ba điểm không thẳng hàng, xác định được vô số đường tròn là khẳng định SAI.

Gọi $ O $ là giao hai đường chéo của hình vuông $ ABCD $ . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có $ OA=OB=OC=OD $ nên $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ , bán kính $ R=OA=\dfrac{AC}{2} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ ta có $ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} $

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ cạnh $ a $ là giao điểm hai đường chéo, bán kính là $ R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} $ .

+ Ta có $ \Delta DCN=\Delta CMB $ (c – g – c)

$ \Rightarrow \widehat{CDN}=\widehat{ECN} $ nên $ \widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN}=90{}^\circ $ suy ra $ \widehat{CEN}=90{}^\circ \Rightarrow CM\bot DN $

+ Gọi $ I $ là trung điểm của $ DM $ .

Xét tam giác vuông $ ADM $ ta có $ AI=ID=IM=\dfrac{DM}{2} $ .

Xét tam giác vuông $ DEM $ ta có $ EI=ID=IM=\dfrac{DM}{2} $ .

Nên $ EI=ID=IM=IA=\dfrac{DM}{2} $ .

Do đó bốn điểm $ A,D,E,M $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ \dfrac{DM}{2} $ .

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ $ AH\bot BC $ . Ta có: $ O\in AH $

Trong tam giác vuông $ ABH $ , ta có: $ \text{AH}=\text{AB}.\sin \widehat{\text{C}}=3.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} $

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên:

$ \text{OA}=\dfrac{2}{3}\text{AH}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} $

Ta có $ OA=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{13} > R=3 $ ; khi đó điểm A nằm bên ngoài đường tròn.

Ta có $ OB=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{5} \right)}^{2}}}=3=R $ ; khi đó điểm B nằm bên trên đường tròn.

$ D $ là trung điểm $ BC $ 

Xét hai tam giác vuông $ BNC $ và $ BMC $ có $ ND,MD $ là hai đường trung tuyến.

$ \Rightarrow DN=DB=DC=DM=\dfrac{BC}{2} $ nên bốn điểm $ B,N,M,C $ cùng thuộc đường tròn tâm $ D $ bán kính $ \dfrac{BC}{2} $ .

Từ câu trước ta có bốn điểm $ A,B,D,C $ cùng thuộc đường tròn đường kính $ AD $ suy ra ta cần tính độ dài $ AD $ .

Vì $ BC=6cm\Rightarrow BH=3cm $ . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ AHB $ ta được $ AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 $ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ ABD $ ta có $ A{{B}^{2}}=AH.AD\Rightarrow AD=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AH}=\dfrac{{{5}^{2}}}{4}=6,25 $ .

Vậy đường kính cần tìm là $ 6,25cm $ .

Vì tâm chúng nằm trên trung trực của của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

Ta có $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ có đường cao $ AH $ nên $ AH $ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB} $ .

Suy ra $ \Delta ACD=\Delta ABD $ (c – g – c) nên $ \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90{}^\circ $ và $ CD=DB $ .

Lấy $ I $ là trung điểm $ AD $ .

Xét hai tam giác vuông $ ABD $ và $ ACD $ có $ IA=ID=IB=IC=\dfrac{AD}{2} $ .

Nên $ I $ là điểm cách đều $ A,B,D,C $ hay $ A,B,D,C $ cùng nằm trên đường tròn tâm $ I $ đường kính $ AD $ .

Xét $ \Delta BNC $ có $ CN\bot AB $ mà $ D $ là trung điểm của $ BC $ nên $ DN=DC=DB\,\,\left( 1 \right) $ .

Xét $ \Delta BMC $ có $ BM\bot AC $ mà $ D $ là trung điểm của $ BC $ nên $ BD=DM=DC\,\,\left( 2 \right) $ .

Từ $ \left( 1 \right) $ và $ \left( 2 \right) $ nên ta có $ BD=DC=DM=DN $

Vậy 4 điểm $ B,C,M,N $ cùng thuộc đường tròn tâm $ D $ đường kính $ BC $ .

$ OA=\sqrt{2} < 2 $ nên điểm $ O $ nằm trong $ \left( A;2 \right) $

$ AB=2 $ nên điểm $ B $ nằm trên $ \left( A;2 \right) $

$ AD=2 $ nên điểm $ D $ nằm trên $ \left( A;2 \right) $

$ AC=2\sqrt{2} > 2 $ nên điểm $ C $ nằm ngoài $ \left( A;2 \right) $

Gọi $ I $ là giao hai đường chéo, ta có $ IA=IB=IC=ID $ (vì $ BD=AC $ và $ I $ là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm $ A,B,C,D $ cùng thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ R=\dfrac{AC}{2} $

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông $ ABC $ ta có $ AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=13 $ nên $ R=\dfrac{AC}{2}=6,5\,cm $ .

Vậy bán kính cần tìm là $ R=6,5\,cm $ .

Ta có $ OA=\sqrt{{{(-3-0)}^{2}}+{{(-4-0)}^{2}}}=5 > 3=R $ nên $ A $ nằm bên ngoài đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=3 $ .

Gọi $ O $ là giao hai đường chéo của hình vuông $ ABCD $ . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có $ OA=OB=OC=OD $ nên $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ , bán kính $ R=OA=\dfrac{AC}{2} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ ta có $ A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{3}^{2}}=18\Rightarrow AC=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} $

Vậy $ R=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} $ .

Ta có $ OA=\sqrt{{{(-1-0)}^{2}}+{{(-1-0)}^{2}}}=\sqrt{2} < 2=R $ nên $ A $ nằm trong đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=2 $ .

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $ BC $ , bán kính là $ R=\dfrac{BC}{2} $ .

Theo định lý Pytago ta có $ BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=13 $ nên bán kính $ R=\dfrac{13}{2} $ .