Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Lý thuyết về Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề.
- Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotan góc kề.
$\begin{array}{l} b = a \cdot \sin {B} = a \cdot \cos {C} \\ b = c \cdot \tan {B} = c \cdot \cot {C} \\ c = a \cdot \sin {C} = a \cdot \cos {B} \\ c = b \cdot \tan {C} = b \cdot \cot {B}\end{array}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác $ ABC $ có $ AB=12,AC=15 $ và $ \widehat{B}=60{}^\circ $ . Tính $ BC $ .
- A
- B
- C
- D
Kẻ đường cao $ AH $ .
Xét tam giác vuông $ ABH $ , ta có: $ BH=AB.\cos B=AB.\cos 60{}^\circ =12.\dfrac{1}{2}=6 $
$ AH=AB.\sin B=AB.\sin 60{}^\circ =12.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} $ .
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ AHC $ ta có:
$ H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{(6\sqrt{3})}^{2}}=117 $ .
Suy ra $ HC=3\sqrt{13} $ .
Vậy $ BC=CH+HB=3\sqrt{13}+6 $ .
Câu 2: Trong tam giác vuông có góc nhọn a, câu nào sau đây sai
- A
- B
- C
- D
Ta luôn có $ 0 < \sin{\alpha} < 1, 0 < \cos{\alpha} < 1 $ .
Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ AC=10\,cm,\widehat{C}=30{}^\circ $ . Độ dài các cạnh $ AB;BC $ lần lượt là
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
$ \tan C=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC.\tan C=10.\tan 30{}^\circ =\dfrac{10\sqrt{3}}{3} $ ;
$ \cos C=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{\cos C}=\dfrac{10}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3} $ .
Vậy $ AB=\dfrac{10\sqrt{3}}{3};BC=\dfrac{20\sqrt{3}}{3} $ .
Câu 4: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=9cm,\widehat{ABC}=50{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=35{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Độ dài $ AC $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 9)\Rightarrow NC=9-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 50{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(9-x).\tan 35{}^\circ $
Nên $ x\tan 50{}^\circ =(9-x).\tan 35{}^\circ \Rightarrow x\approx 3,33 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=3,33.\tan 35{}^\circ \approx 2,79 $ .
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ \sin C=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AN}{\sin C}\approx 4,87 $
Câu 5: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=11cm,\widehat{ABC}=40{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=30{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Độ dài $ AN $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 11)\Rightarrow NC=11-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 40{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(11-x).\tan 30{}^\circ $
Nên $ x\tan 40{}^\circ =(11-x).\tan 30{}^\circ \Rightarrow x\approx 4,48 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=4,48.\tan 40{}^\circ \approx 3,76\,(cm) $ .
Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=12\,cm;\widehat{B}=40{}^\circ $ . Tính $ AC;\widehat{C} $ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
+ $ \sin B=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC.\sin B=12.\sin 40{}^\circ \approx 7,71 $ .
+ $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -40{}^\circ -90{}^\circ =50{}^\circ $ .
Vậy $ AC\approx 7,71;\widehat{C}=50{}^\circ $ .
Câu 7: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ AC=20\,cm,\widehat{C}=60{}^\circ $ . Độ dài các cạnh $ AB;BC $ lần lượt là
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
$ \tan C=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC.\tan C=20.\tan 30{}^\circ =20\sqrt{3} $ ;
$ \cos C=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{\cos C}=\dfrac{20}{\dfrac{1}{2}}=40 $ .
Vậy $ AB=20\sqrt{3};BC=40 $ .
Câu 8: Cho tam giác $ ABC $ có $ AB=16,AC=14 $ và $ \widehat{B}=60{}^\circ $ . Tính $ BC $ .
- A
- B
- C
- D
Kẻ đường cao $ AH $ .
Xét tam giác vuông $ ABH $ , ta có: $ BH=AB.\cos B=AB.\cos 60{}^\circ =16.\dfrac{1}{2}=8 $
$ AH=AB.\sin B=AB.\sin 60{}^\circ =16.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3} $ .
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ AHC $ ta có:
$ H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{14}^{2}}-{{(8\sqrt{3})}^{2}}=196-192=4 $ .
Suy ra $ HC=2 $ .
Vậy $ BC=CH+HB=2+8=10 $ .
Câu 9: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ AC=7cm,AB=5cm $ . Tính $ BC;\widehat{C} $ .
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
+ $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{5}^{2}}+{{7}^{2}}=74\Rightarrow BC=\sqrt{74}(cm) $ .
+ $ \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow \widehat{C}\approx 35{}^\circ 3{2}' $
Vậy $ BC=\sqrt{74}(cm);\widehat{C}\approx 35{}^\circ 3{2}' $ .
Câu 10: Lúc 8 giờ sáng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng 300. Bóng của cột cờ cao 10m trên mặt đất có chiều dài (đơn vị m, làm tròn đến phần trăm) là:
- A
- B
- C
- D
Gọi AB là chiều cao cột cờ, AC là bóng cột cờ trên mặt đất
Khi đó (ABC vuông tại A có AB = 10 m, $ \hat{C}={{30}^{0}} $
$ \Rightarrow AC=AB.\cot C=10.\cot {{30}^{0}}=10\sqrt{3}\approx 17,32 $ (m)
Câu 11: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=15\,cm,AB=12\,cm $ . Tính $ AC;\widehat{B} $ .
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
+ $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\,(cm) $ .
+ $ \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5} $ .
$ \Rightarrow \widehat{B}\approx 36{}^\circ 5{2}' $ .
Vậy $ AC=9(cm);\widehat{B}\approx 36{}^\circ 5{2}' $ .
Câu 12: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=11cm,\widehat{ABC}=40{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=30{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Độ dài $ AC $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 11)\Rightarrow NC=11-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 40{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(11-x).\tan 30{}^\circ $
Nên $ x\tan 40{}^\circ =(11-x).\tan 30{}^\circ \Rightarrow x\approx 4,48 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=4,48.\tan 40{}^\circ \approx 3,76\,(cm) $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ \sin C=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AN}{\sin C}=7,52 $
Câu 13: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=26\,cm,AB=10\,cm $ . Tính $ AC;\widehat{B} $ (làm tròn đến độ).
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
+ $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{26}^{2}}-{{10}^{2}}}=24\,(cm) $ .
+ $ \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{24}{26}=\dfrac{12}{13}\Rightarrow \widehat{B}\approx 67{}^\circ $ .
Vậy $ AC=24;\widehat{B}\approx 67{}^\circ $ .
Câu 14: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=9cm,\widehat{ABC}=50{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=35{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Độ dài $ AN $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 9)\Rightarrow NC=9-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 50{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(9-x).\tan 35{}^\circ $
Nên $ x\tan 50{}^\circ =(9-x).\tan 35{}^\circ \Rightarrow x\approx 3,33 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=3,33.\tan 35{}^\circ \approx 2,79 $ .
Câu 15: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=9cm,\widehat{ABC}=50{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=35{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Diện tích tam giác $ ABC $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 9)\Rightarrow NC=9-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 50{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(9-x).\tan 35{}^\circ $
Nên $ x\tan 50{}^\circ =(9-x).\tan 35{}^\circ \Rightarrow x\approx 3,33 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=3,33.\tan 35{}^\circ \approx 2,79 $ , nên $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{AN.BC}{2}=12,555\,c{{m}^{2}} $ .
Câu 16: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=15\,cm,\widehat{B}=55{}^\circ $ . Tính $ AC;\widehat{C} $ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có
+ $ \sin B=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC.\sin B=15.\sin 55{}^\circ \approx 12,29 $ .
+ $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -55{}^\circ -90{}^\circ =35{}^\circ $ .
Vậy $ AC\approx 12,29;\widehat{C}=35{}^\circ $ .
Câu 17: Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=11cm,\widehat{ABC}=40{}^\circ $ và $ \widehat{ACB}=30{}^\circ $ . Gọi $ N $ là chân đường vuông góc hạ từ $ A $ xuống cạnh $ BC $ . Diện tích tam giác $ ABC $ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ BN=x\,(0 < x < 11)\Rightarrow NC=11-x $ .
Xét tam giác $ ABN $ vuông tại $ N $ có $ AN=BN.\tan B=x.\tan 40{}^\circ $
Xét tam giác $ ACN $ vuông tại $ N $ có $ AN=CN.\tan C=(11-x).\tan 30{}^\circ $
Nên $ x\tan 40{}^\circ =(11-x).\tan 30{}^\circ \Rightarrow x\approx 4,48 $ (thoả mãn).
Khi đó $ AN=BN.\tan B=4,48.\tan 40{}^\circ \approx 3,76\,(cm) $ , nên $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{AN.BC}{2}=20,68\,c{{m}^{2}} $ .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới