Hình hộp chữ nhật

+) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau là SAI. Chẳng hạn $ AB $ và $ AB' $ đều song song với mặt phẳng $ \left( CC'D'D \right) $ nhưng chúng lại không song song với nhau.

+) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì song song với nhau.ĐÚNG

+) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì song song với nhau. SAI . Chẳng hạn 2 mặt phẳng $ \left( AA'B'B \right) $ và $ \left( BB'C'C \right) $ cùng song song với đường thẳng $ DD' $ nhưng 2 mặt phẳng này ko song song với nhau.

+) Mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ song song với đường thẳng $ d $ thì $ \left( \alpha \right) $ sẽ song song với mặt phẳng $ \left( \beta \right) $ chứa $ d $ . SAI vì $ \left( \alpha \right)//\left( \beta \right) $ khi và chỉ khi $ \left( \alpha \right) $ phải song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong $ \left( \beta \right) $ .

$ AB//CD\Rightarrow AB//\left( CDD'C' \right) $ (đúng)

Ta có $ AA' $ và $ AD $ cắt nhau, $ BB' $ và $ BC $ cắt nhau đòng thời $ \left\{ \begin{array}{l} AA'//BB' \\ AD//BC \end{array} \right.\Rightarrow \left( AA'D'D \right)//\left( BB'C'C \right) $ (đúng)

$ AC//A'C'\Rightarrow AC//\left( A'B'C'D' \right) $ (đúng)

$ C'D//\left( BB'D'D \right) $ sai vì $ C'D\cap \left( BB'D'D \right)=\left\{ D \right\} $

M là trung điểm AD, N là trung điểm DC suy ra MN là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra $ \left\{ \begin{array}{l} MN//AC \\ MN=\dfrac{1}{2}AC \end{array} \right. $

Chứng minh tương tự ta có $ \left\{ \begin{array}{l} IK//A'C' \\ IK=\dfrac{1}{2}A'C' \end{array} \right. $

Mà $ \left\{ \begin{array}{l} A'C'//AC \\ A'C'=AC \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} IK//MN \\ IK=MN \end{array} \right. $ . Vậy tứ giác $ MNKI $ là hình bình hành.

MN là đường trung bình của tam giác $ A'B'D' $ suy ra $ MN//B'D'\Rightarrow MN//BD $

$ \Rightarrow $ $ MN//\left( BB'D'D \right) $ , $ MN//\left( C'BD \right) $ $ MN//\left( CB'D' \right) $

$ MN//\left( BB'C' \right) $ là sai.

$ AC//A'C' $ nên $ AC $ và $ A'C' $ đồng phẳng.

$ A'B//CD' $ nên $ A'B $ và $ CD' $ đồng phẳng.

$ B'C//DA' $ nên $ B'C $ và $ DA' $ đồng phẳng.

$ ABNM $ là hình chữ nhật.

$ OA=3\Rightarrow AN=6 $

$ AB=PQ=4 $

$ NB=\sqrt{A{{N}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{4}^{2}}}=2\sqrt{5} $ .

Diện tích ABNM: $ S=AB.NB=4.2\sqrt{5}=8\sqrt{5} $

Trong hình hộp chữ nhật ác cạnh bên luôn song song với nhau, các cạnh bên đều vuông góc với hai mặt đáy và hình hộp chữ nhật có hai đường chéo chính.

Có $ 3 $ cặp mặt phẳng song song là mp $ (AB{B}'{A}') $ và mp $ (DC{C}'{D}') $ ; mp $ (ABCD) $ và mp $ ({A}'{B}'{C}'{D}') $ ; mp $ (AD{D}'{A}') $ và mp $ (BC{C}'{B}') $ .

Hình hộp chữ nhật có $ 12 $ cạnh:

$ \begin{array}{*{35}{l}} AB;BC;CD;DA;{A}'{B}';{C}'{D}'; \\ {B}'{C}';{D}'{A}';A{A}';B{B}';C{C}';D{D}'. \end{array} $

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật

$ \begin{array}{l} AB=DC={A}'{B}'={D}'{C}' \\ A{A}'=B{B}'=C{C}'=D{D}' \\ A{A}'=B{B}'=C{C}'=D{D}'. \end{array} $

Có bốn cạnh cắt $ AB $ là $ AD,AA\prime ,BC,BB\prime $ .

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt.

Ta có $ A{C}' $ cắt $ D{B}' $ vì $ AD\text{//}{B}'{C}';AD={B}'{C}' $ nên $ AD{C}'{B}' $ là hình bình hành, do đó $ A{C}' $ cắt $ D{B}' $ .

$ A{C}' $ không cắt $ BC $ vì chúng không có điểm chung.

$ AB $ và $ CD $ song song nên chúng không cắt nhau.

$ AC~ $ và $ BD $ cắt nhau.

ABNM là hình chữ nhật, mà O là trung điểm AN nên O cũng là trung điểm MB, hay M,O,B thẳng hàng.

Mặt phẳng chứa đường thẳng $ {A}'B $ và $ C{D}' $ là mặt phẳng đi qua bốn

điểm $ {A}',B,C,{D}' $ hay chính là $ mp(A\prime BCD\prime ). $

Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật gồm $ 6 $ mặt:

$ (AD{D}'{A}');(DC{C}'{D}');(BC{C}'{B}');(AB{B}'{A}');(ABCD);({A}'{B}'{C}'{D}') $ .

Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.

Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh.

Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình vuông thì khi đó, tất cả các cạnh đều bằng nhau, hay trở thành hình lập phương.

Có ba cạnh song song với $ AB $ là $ {A}'{B}',CD,{C}'{D}' $ .

$ V=3.4.5=60\left( c{{m}^{3}} \right) $

Thể tích hình lập phương cạnh $ 5c{{m}^{3}} $ là: $ V={{5}^{3}}=125\,c{{m}^{3}} $ .

Ta có:

$ B{B}'\bot BC $ (Vì $ BC{C}'{B}' $ là hình chữ nhật)

$ B{B}'\bot BA $ (Vì $ AB{B}'{A}' $ là hình chữ nhật)

$ \Rightarrow B{B}'\bot mp(ABCD) $

Ta có:

$ B{B}'\bot {B}'{C}' $ (Vì $ BC{C}'{B}' $ là hình chữ nhật)

$ B{B}'\bot {B}'{A}' $ (Vì $ AB{B}'{A}' $ là hình chữ nhật)

$ \Rightarrow B{B}'\bot mp({A}'{B}'{C}'{D}') $

Vậy $ B{B}' $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $ và mặt phẳng $ {A}'{B}'{C}'{D}' $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} BC\bot AB \\ BC\bot BB' \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( AA'B'B \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} BC\bot CD \\ BC\bot CC' \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( CC'D'D \right)\Rightarrow \left( BB'C'C \right)\bot \left( CC'D'D \right) $

$ ABCD $ là hình vuông nên $ BD\bot AC $ . Mà $ BB'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow BB'\bot AC $

Suy ra $ \left\{ \begin{array}{l} AC\bot BD \\ AC\bot BB' \end{array} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BB'D'D \right)\Rightarrow \left( ACC'A' \right)\bot \left( BB'D'D \right) $

$ V={{a}^{3}}={{4}^{3}}=64\left( c{{m}^{3}} \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} AB\bot \left( AA' \right) \\ AB\bot \left( AD \right) \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( AA'D'D \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} BC\bot AB \\ BC\bot BB' \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ABB'A' \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} AA'\bot AB \\ AA'\bot AD \end{array} \right.\Rightarrow AA'\bot \left( ABCD \right) $

$ AC $ không vuông góc với $ BD $ nên $ AC $ không vuông góc với $ \left( BB'D'D \right) $