Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,\,\,(1)$ với $a,b,c\in \mathbb{C},a\ne 0$.
Xét biệt thức $\Delta = b^2-4ac$.
Ví dụ. Giải phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ trên tập hợp số phức
Giải. Ta có $\Delta =1-4=-3 \Rightarrow \sqrt {\Delta}=i\sqrt3$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: $$z_{1 , 2} = \dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$
$\begin{align}
& {{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow x=\pm i \\
& \Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=2 \\
\end{align}$
Thay $z=1+i$ vào $ {{z}^{2}}+bz+c=0 $ ta được
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\
\Leftrightarrow 1 + 2i - 1 + b + bi + c = 0\\
\Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c = 0\\
2 + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2\\
c = 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Nếu ${{z}_{0}}\in \mathbb{C}$ là một nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ $\left(a\ne 0 \text{ và } a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ thì $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là một nghiệm của nó.
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm trên tập số phức là $ \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. $ .