Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

$ \begin{array}{l} \widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}=2:3:4\Rightarrow \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{3}=\dfrac{\widehat{C}}{4}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2+3+4}=\dfrac{{{180}^{0}}}{9}={{20}^{0}}. \\ \Rightarrow \widehat{A}={{40}^{0}};\,\,\widehat{B}={{60}^{0}};\,\,\widehat{C}={{80}^{0}}. \end{array} $

$ \Delta ACE $ có: $ \widehat{A}+\widehat{ACE}={{90}^{0}} $ (Vì $ CE\bot AB $ ).

$ \widehat{HCD} $ có: $ {{\widehat{H}}_{1}}+\widehat{ACE}={{90}^{0}} $ (Vì $ BD\bot AC $ ).

$ \Rightarrow \widehat{A}={{\widehat{H}}_{1}}. $

Ta lại có: $ {{\widehat{H}}_{1}}+{{\widehat{H}}_{2}}={{180}^{0}} $ (kề bù).

Do đó: $ \widehat{A}+{{\widehat{H}}_{2}}={{180}^{0}}. $

Ta có: $ \widehat{xBA}+\widehat{yCA}=\left( \widehat{xBC}-\widehat{ABC} \right)+\left( \widehat{yCB}-\widehat{ACB} \right) $ $ =\left( \widehat{xBC}+\widehat{yCB} \right)-\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right) $ . (1)

Vì Bx và Cy cùng vuông góc với BC nên $ \widehat{xBC}+\widehat{yCB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}. $ (2)

Vì $ \Delta ABC $ vuông tại A $ \Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={{90}^{0}} $ . (3)

Từ (1) (2) và (3) $ \Rightarrow \,\,\,\widehat{xBA}+\widehat{yCA}={{180}^{o}}-{{90}^{0}}={{90}^{o}} $ .

Theo đề bài, ta có: $ \widehat{B} < \widehat{A}. $ (1)

Hiển nhiên: $ \widehat{B} < \widehat{B}+\widehat{C}. $ (2)

Cộng theo từng về (1) và (2), ta có: $ 2\widehat{B} < \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}. $

Vậy $ \widehat{B} < {{90}^{0}}. $

$ \Delta MNP=\Delta ABC $

$ \Rightarrow \,\,MN=AB\,;\,MP=AC\,;\,NP=BC $

Mà $ MN=6cm\,;AC=7cm\,;NP=10cm $

$ \Rightarrow \,\,AB=6cm,\,\,MP=7cm,\,BC=10cm $ .

$ \Delta ABC=\Delta DEF\, $

$ \Rightarrow \,\,AB=DE\,=6cm\,\,; $ $ AC=DF=14cm\,; $ $ BC=EF=10cm. $

Chu vi tam giác DEF là: $ DE+DF+EF=6+14+10=30\,(cm). $

Ta có $ \Delta ABC=\Delta D\text{EF}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{A}=\widehat{D} \\ \widehat{B}=\widehat{E} \\ \widehat{C}=\widehat{F} \end{array} \right. $

Mặt khác $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{E}+\widehat{C}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{C}={{60}^{o}} $

Vì $ \Delta EFM=\Delta KPN $ nên $ EF=KP\,;\,EM=KN\,;\,FM=PN $ .

Tam giác EFM có $ \widehat{E}={{90}^{o}} $ $ \Rightarrow \,\Delta EFM $ vuông tại E $ \Rightarrow \,{{S}_{EFM}}=\dfrac{1}{2}EF.EM $ .

Tam giác KPN có $ \widehat{K}={{90}^{o}} $ $ \Rightarrow \,\Delta KPN $ vuông tại K $ \Rightarrow \,{{S}_{KPN}}=\dfrac{1}{2}KP.KN $ .

Khi đó: $ \dfrac{{{S}_{EFM}}}{{{S}_{KPN}}}=\dfrac{EF.EM}{KP.KN}=\dfrac{KP.KN}{KP.KN}=1. $

Vì $ \Delta ABC=\Delta KPN $ nên $ AB=KP=9cm\,; $ $ AC=KN=14cm\,;\,BC=PN. $

Vì chu vi tam giác KPN bằng 30cm nên $ KP+KN+PN=30\,(cm) $

$ \Rightarrow \,PN=30-(KP+KN)=30-(9+14)=7\,(cm). $

Vậy $ BC=PN=7cm. $

$ \Delta ABC=\Delta DEF\,\Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{D}\,;\,\widehat{B}=\widehat{E}={{55}^{o}}\,;\,\widehat{C}=\widehat{F}={{60}^{o}} $ .

Xét tam giác DEF có $ \widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{D}={{180}^{o}}-\left( \widehat{E}+\widehat{F} \right)={{180}^{o}}-\left( {{55}^{o}}+{{60}^{o}} \right)={{65}^{o}} $ .

Vì $ \Delta ABC=\Delta MNP $ $ \Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{M}\,;\,\widehat{B}=\widehat{N}\,={{70}^{o}};\,\widehat{C}=\widehat{P}={{40}^{o}} $ .

Xét tam giác MNP có: $ \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{M}={{180}^{o}}-\left( \widehat{N}+\widehat{P} \right)={{180}^{o}}-\left( {{70}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{70}^{o}} $

Vậy tam giác MNP có $ \widehat{M}=\widehat{N}={{70}^{o}} $ .

Ta có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $ mà $ \widehat{A}=\widehat{B}=2\widehat{C} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{A}={{72}^{o}} \\ \widehat{B}={{72}^{o}} \\ \widehat{C}={{36}^{o}} \end{array} \right. $

Mà $ \Delta ABC=\Delta DEG\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{B}={{72}^{o}} $

Do $ \Delta ABC=\Delta MNP\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB=MN \\ BC=NP \\ AC=MP \end{array} \right. $

Chu vi tam giác $ MNP $ là $ MN+NP+MP=MN+BC+AC=6+9+8=23\,cm $

Vì $ AB=QP\,;\,BC=E\,Q $ và $ \Delta ABC $ bằng một tam giác có ba đỉnh P, E, Q nên AC = PE.

Khi đó hai tam giác bằng nhau theo thứ tự đỉnh tương ứng là: $ \Delta ABC=\Delta PQE $ .

Ta có $ \Delta PQ\text{R}=\Delta SIK\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{P}=\widehat{S} \\ \widehat{Q}=\widehat{I} \\ \widehat{R}=\widehat{K} \end{array} \right. $

Mặt khác $ \widehat{P}+\widehat{Q}+\widehat{R}=\widehat{P}+\widehat{I}+\widehat{R}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{R}={{40}^{0}} $

$ \Delta ABC=\Delta MNP $

$ \Rightarrow \,\widehat{A}=\widehat{M}\,;\,\widehat{B}=\widehat{N}\,={{50}^{o}}\,;\,\widehat{C}=\widehat{P}={{85}^{o}} $

Xét tam giác ABC có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\widehat{A}={{180}^{o}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{180}^{o}}-({{50}^{o}}+{{85}^{o}})={{45}^{o}} $ .

$ \Rightarrow \,\widehat{M}=\widehat{A}={{45}^{o}}. $

$ \Delta ABC=\Delta KPN $ $ \Rightarrow \,AB=KP\,;\,AC=KN\,;\,BC=PN $ .

Chu vi tam giác ABC là: $ {{C}_{ABC}}=AB+AC+BC $ .

Chu vi tam giác KPN là: $ {{C}_{KPN}}=KP+KN+PN $ .

Do đó: $ \dfrac{{{C}_{ABC}}}{{{C}_{KPN}}}=\dfrac{AB+AC+BC}{KP+KN+PN}=1. $

Ta có $ \Delta ABC=\Delta DEF\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AC=DF \\ AB=DE \\ BC=\text{EF} \end{array} \right. $

Chu vi tam giác $ DEF $ là $ DF+DE+F\text{E}=DF+AB+BC=6+5+7=18\,\,cm $

Vì $ \Delta ABC=\Delta MNP $ $ \Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{M}={{60}^{o}}\,;\,\widehat{B}=\widehat{N}\,;\,\widehat{C}=\widehat{P}={{30}^{o}} $ .

Xét tam giác ABC có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{B}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{C} \right)={{180}^{o}}-\left( {{60}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\Delta ABC $ vuông tại B.