Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

4.3/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

Lý thuyết về Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\] với \[a,b,c,d\] phụ thuộc tham số. Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng \[y=\alpha x+\beta \] ( hoặc trục \[Ox\]) tại 3 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:

\[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\alpha x+\beta \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\left( c-\alpha \right)x+d-\beta =0\left( * \right)\]

Giả sử \[\left( * \right)\] có 1 nghiệm \[x={{x}_{0}}\] khi đó ta có \[\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( A{{x}^{2}}+Bx+C \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x={{x}_{0}} \\& g\left( x \right)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \\ \end{align} \right.\]

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \[\left( * \right)\] có 3 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow g\left( x \right)=0\] có 2 nghiệm phân biệt và khác \[{{x}_{0}}\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\Delta }_{g}}>0 \\ & g\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ \end{align} \right.\]

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $ y=\dfrac{1-x}{x+2} $ và đường thẳng $ y=2x-1 $ . Số giao điểm của hai đồ thị là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{1-x}{x+2}=2x-1 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -2 \\ & 2{ x ^ 2 }+3x-2=1-x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{10}} 2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm.

Câu 2: Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}-2}{x+3}$ tại bao nhiêu điểm?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta thấy đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}-2}{x+3}$ nên đường thẳng không cắt đồ thị hàm số.

Câu 3: Cho hàm số $ y={ x ^ 3 }-4x+5 $ (1). Đường thẳng $ \left( d \right):y=3-x $ cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ { x ^ 3 }-4x+5=3-x\Leftrightarrow { x ^ 3 }-3x+2=0\Leftrightarrow x=1;x=-2 $

Với $ x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left( 1;2 \right) $ , với $ x=-2\Rightarrow y=5\Rightarrow B\left( -2;5 \right) $ . Ta có $ AB=3\sqrt{2} $ .

Câu 4: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-3x+5 $ và đường thẳng $ d:y=2x+2 $ . Số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-3x+5=2x+2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-5x+3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

Câu 5: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}+1}{1-x}$ cắt trục $Oy$ tại điểm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}+1}{1-x}$ cắt trục $Oy$$\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$

Câu 6: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }+2{ x ^ 2 }+x+3 $ và đường thẳng $ d:y=2x+5 $ . Số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+2{ x ^ 2 }+x+3=2x+5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+2{ x ^ 2 }-x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-1 \\ & x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 3 điểm phân biệt.

Câu 7: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5 $ và đường thẳng $ d:y=2x-1 $ . Tích tung độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5=2x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+x+6=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1\Rightarrow y=-3 \\ & x=3\Rightarrow y=5 \\ & x=2\Rightarrow y=3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tích tung độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ -45 $ .

Câu 8: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10 $ và đường thẳng $ d:y=2x-2 $ . Tích hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10=2x-2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-8x+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-3 \\ & x=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tích hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ -6 $

Câu 9: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-6{ x ^ 2 }+10x-5 $ và đường thẳng $ d:2x+y-3=0 $ . Tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ d:2x+y-3=0\Leftrightarrow y=-2x+3 $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-6{ x ^ 2 }+10x-5=-2x+3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-6{ x ^ 2 }+12x-8=0 \\ & \Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-1 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại điểm có tọa độ $ \left( 2;-1 \right) $

Câu 10: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1 $ và đường thẳng $ d:y=x+1 $ . Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 2 điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1=x+1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+5x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2\Rightarrow y=3 \\ & x=1\Rightarrow y=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^ 2 }+{{\left( 3-2 \right)}^ 2 }}=\sqrt{2} $

Câu 11: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10 $ và đường thẳng $ d:y=2x-2 $ . Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 2 điểm A, B. Tọa độ trung điểm I của AB là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10=2x-2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-8x+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-3\Rightarrow y=-8 \\ & x=2\Rightarrow y=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tọa độ trung điểm I của AB là $ \left( -\dfrac{1}{2} ;-3 \right) $

Câu 12: Cho hàm số $ y=\dfrac{6x}{x+1} $ và đường thẳng $ y=x+2 $ . Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B. Tọa độ trung điểm I của AB là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{6x}{x+1}=x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }+3x+2=6x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1\Rightarrow y=3 \\ & x=2\Rightarrow y=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{2} ;\dfrac{7}{2} \right) \\ \end{array} $

Câu 13: Cho hàm số $ \left( C \right):y=8{ x ^ 3 }+12{ x ^ 2 }+6x-1 $ và đường thẳng $ d:y=-2 $ . Số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & 8{ x ^ 3 }+12{ x ^ 2 }+6x-1=-2 \\ & \Leftrightarrow 8{ x ^ 3 }+12{ x ^ 2 }+6x+1=0 \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Câu 14: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=1-\dfrac{1}{x}$ với trục tung là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình trục tung là $x=0$ mà hàm đã cho xác định khi $x\ne 0$ nên số giao điểm là$0$

Câu 15: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-2{ x ^ 2 }-\dfrac 1 2 x+1 $ và đường thẳng $ d:x-2y-2=0 $ . Tổng hoành độ các giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ d:x-2y-2=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2} x-1 $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-2{ x ^ 2 }-\dfrac{1}{2} x+1=\dfrac{1}{2} x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-2{ x ^ 2 }-x+2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tổng hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ 2 $ .

Câu 16: Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 2$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3 - 3x^2 - 2=0$ có $1$ nghiệm thực.
$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 2$ cắt trục $Ox$ tại $1$ điểm.

Câu 17: Cho hàm số $ \left( C \right):y=-2{ x ^ 3 }+x-3 $ và đường thẳng $ d:y=2x-1 $ . Số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & -2{ x ^ 3 }+x-3=2x-1 \\ & \Leftrightarrow 2{ x ^ 3 }+x+2=0 \\ \end{array} $

Sử dụng Casio ta thấy, phương trình có 1 nghiệm.

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Câu 18: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5 $ và đường thẳng $ d:y=2x-1 $ . Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 3 điểm A, B, C. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5=2x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+x+6=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1\Rightarrow y=-3 \\ & x=3\Rightarrow y=5 \\ & x=2\Rightarrow y=3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $ G\left( \dfrac{4}{3} ;\dfrac{5}{3} \right) $

Câu 19: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1 $ và đường thẳng $ d:y=x+1 $ . Số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1=x+1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+5x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2 \\ & x=1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 2 điểm phân biệt.

Câu 20: Cho hàm số $ y={ x ^ 3 }-2x+m $ có đồ thị $ \left( { C _ m } \right) $ . Tìm m sao cho $ \left( { C _ m } \right) $ cắt trục tung tại M thỏa mãn điều kiện $ OM=4 $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đồ thị $ \left( { C _ m } \right) $ cắt trục Oy tại $ M\left( 0;m \right) $ . Suy ra $ OM=\left| m \right|=4\Leftrightarrow m=\pm 4 $ .

Câu 21: Cho hàm số $ \left( C \right):y={ x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-x+1 $ và đường thẳng $ d:y=-x+3 $ . Tổng tung độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-x+1=-x+3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-2=0 \\ & \Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Câu 22: Cho hàm số $ y=\dfrac{3-x}{2x-1} $ và đường thẳng $ y=x+2 $ . Tổng tung độ giao điểm của hai đồ thị bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{3-x}{2x-1}=x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne \dfrac{1}{2} \\ & 2{ x ^ 2 }+3x-2=3-x \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}} 2 \Rightarrow y=\dfrac{2\pm \sqrt{14}} 2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow { y _ 1 }+{ y _ 2 }=2 $

Câu 23: Cho hàm số $ y=\dfrac{3x-2}{x-1} $ và đường thẳng $ x+y-2=0 $ . Số giao điểm của hai đồ thị là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{3x-2}{x-1}=-x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 1 \\ & -{ x ^ 2 }+3x-2=3x-2 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow x=0 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Hai đồ thị giao nhau tại 1 điểm.

Câu 24: Cho hàm số $ y=\dfrac{x+1}{x-2} \left( C \right) $ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=2x-1 $ tại 2 điểm phân biệt $ A\left( { x _ 1 };{ y _ 1 } \right) $ ; $ B\left( { x _ 2 };{ y _ 2 } \right) $ . Khi đó $ { y _ 1 }+{ y _ 2 } $ bằng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{x+1}{x-2}=2x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & x+1=\left( 2x-1 \right)\left( x-2 \right) \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & 2{ x ^ 2 }-6x+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & x=\dfrac{3\pm \sqrt{7} } 2 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{3+\sqrt{7} } 2 ;y=2+\sqrt{7} \\ & x=\dfrac{3-\sqrt{7} } 2 ;y=2-\sqrt{7} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

Suy ra $ { y _ 1 }+{ y _ 2 }=2+\sqrt{7} +\left( 2-\sqrt{7} \right)=4 $ .

Câu 25: Biết đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số luôn cắt trục hoành tại một điểm.