Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Lý thuyết về Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Bài toán 1: Tìm tham số $m$ để hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ đơn điệu trên $\mathbb{R}.$
Phương pháp giải
Bước 1: Tính đạo hàm ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ .
Bước 2: Xét dấu ${y}'$ (khi $a\ne 0$).
Hàm số đồng biến trên \[ \Leftrightarrow y' \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{y'}} > 0\\
{\Delta _{y'}} \le 0
\end{array} \right.m.\]
Hàm số nghịch biến trên \[ \Leftrightarrow y' \le 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{y'}} < 0\\
{\Delta _{y'}} \le 0
\end{array} \right.m.\]
Chú ý: khi hệ số $a$chứa tham số thì cần xét thêm trường hợp$a=0$.
Bài toán 2: Tìm tham số $m$ để hàm số$y=\frac{ax+b}{cx+d}$ (\[c\ne 0,\,\,\,ad-bc\ne 0\]) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định.
Phương pháp giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$.
Đạo hàm: ${y}'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$ .
Điều kiện đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định$\Leftrightarrow {y}'>0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc>0$$\xrightarrow{{}}m$.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định$\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc<0$$\xrightarrow{{}}m$.
Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số đa thức đơn điệu trên tập K (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm ${y}'={f}'(x)$.
Bước 2: Sử dụng điều kiện đơn điệu:
- Hàm số đồng biến trên $K\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\,\,\forall x\in K$.
- Hàm số nghịch biến trên $K\Leftrightarrow {y}'\le 0,\,\,\forall x\in K$.
Bước 3: Tìm tham số m
Loại 1: (nếu cô lập được m)
+ Biến đổi theo dạng $h\left( m \right)\ge g(x),\,\,\forall x\in K$ (hoặc $h\left( m \right)\le g(x),\,\,\forall x\in K$).
+ Lập bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ với mọi $x\in K$.
+ Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số $m.$
+ Chú ý: với các hàm đa thức việc xét đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)\Leftrightarrow $ xét đồng biến trên khoảng $\left[ a;b \right]$.
Loại 2: Không cô lập được tham số m; nhưng ${y}'=0$ có nghiệm đẹp
+ Tìm trực tiếp nghiệm của phương trình ${y}'=0$
+ Áp dụng điều kiện nghiệm của đề bài cho nghiệm của ${y}'$.
Loại 3: Không cô lập được tham số m và${y}'=0$ không có nghiệm đẹp
+ Sử dụng trực tiếp cách xét dấu tam thức bậc 2 để xử lý
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây là đúng
Khẳng định nào sau đây là đúng- A
- B
- C
- D
Do $y'<0$ trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên các khoảng đó.
Câu 2: Hàm số $ y=\dfrac{-1} 3 { x ^ 3 }+\left( m-2 \right){ x ^ 2 }-mx+3m $ nghịch biến trên khoảng xác định khi:
- A
- B
- C
- D
Ta có $ y'=-{ x ^ 2 }+2\left( m-2 \right)x-m $
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi $ y'\le 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow -{ x ^ 2 }+2\left( m-2 \right)x-m\le 0,\forall x\in \mathbb R $
$ \Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^ 2 }-m\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }-5m+4\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 4 $ .
Câu 3: Với giá trị nào của m, hàm số $ y=\dfrac{\left( m-2 \right)x+m}{x+m} $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
- A
- B
- C
- D
TXĐ: $ D=\left( -\infty ;-m \right)\cup \left( -m;+\infty \right) $ ; $ y'=\dfrac{m\left( m-2 \right)-m}{{{\left( x+m \right)}^ 2 }}=\dfrac{{ m ^ 2 }-3m}{{{\left( x+m \right)}^ 2 }} $
y đồng biến trên mỗi khoảng xác định $ \Leftrightarrow y' > 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }-3m > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m > 3 \\ & m < 0 \\ \end{array} \right. $
Câu 4: Cho hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\,\,\left( ad-bc\ne 0 \right)$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng đinh sau?
- A
- B
- C
- D
Ta có $y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}\Rightarrow $ Dấu của $y'$ sẽ phụ thuộc vào $a\text{d}-bc\Rightarrow $ Hàm số luôn đơn điệu trên các khoảng của tập xác định
Câu 5: Tìm m để hàm số $ y=\dfrac{1}{3} { x ^ 3 }+m{ x ^ 2 }+4 $ đồng biến trên $ \mathbb R $ ?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ y'={ x ^ 2 }+2mx $
Hàm số đồng biến trên $ \mathbb R $ $ \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow { x ^ 2 }+2mx\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }\le 0\Leftrightarrow m=0 $ .
Câu 6: Tìm GTNN của $m$ để hàm số $ y=\dfrac{{ x ^ 3 }} 3 +m{ x ^ 2 }-mx-m $ đồng biến trên $ \mathbb R $ ?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ y'={ x ^ 2 }+2mx-m $
Hàm số đồng biến trên $ \mathbb R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow { x ^ 2 }+2mx-m\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }+m\le 0 $ $ \Leftrightarrow -1\le m\le 0 $ .
Câu 7: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $ \mathbb R $ với mọi m?
- A
- B
- C
- D
Hàm $ y=-{ m ^ 2 }{ x ^ 3 }+m $ loại ngay vì với $ m=0 $ thì $ y=0 $ .
Hàm $ y=-{ m ^ 2 }{ x ^ 3 }+m{ x ^ 2 }-3x+1 $ có $ y'=-3{ m ^ 2 }{ x ^ 2 }+2mx-3=-{{\left( mx\sqrt{3} -\dfrac{1}{{}\sqrt{3} } \right)}^ 2 }-\dfrac{8}{3} < 0,\forall x\in \mathbb R \Rightarrow y $ nghịch biến trên $ \mathbb R $ với $ \forall m\in \mathbb R $ .
Hàm $ y=\dfrac{-mx+1}{x+m} $ loại ngay vì TXĐ của hàm số $ y=\dfrac{-mx+1}{x+m} $ là $ \mathbb R \backslash \left\{ -m \right\} $ không phải $ \mathbb R $ .
Hàm $ y={ x ^ 3 }-2mx+1 $ có $ y'=3{ x ^ 2 }-2m $ , ta chưa thể khẳng định được với $ \forall m\in \mathbb R $ thì $ y'\le 0,\forall x\in \mathbb R \Rightarrow $ Loại.
Câu 8: Hàm số $ y=\dfrac{{ x ^ 3 }} 3 +m{ x ^ 2 }+4x $ đồng biến trên $ \mathbb R $ khi?
- A
- B
- C
- D
Yêu cầu bài toán
\[\begin{gathered}
\Leftrightarrow y' = {x^2} + 2mx + 4 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{a = 1 > 0} \\
{}&{\Delta ' = {m^2} - 4 \leqslant 0}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow {m^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \]
Câu 9: Hàm số $ y=\dfrac{-{ x ^ 3 }} 3 +m{ x ^ 2 }-4x $ nghịch biến trên $ \mathbb R $ khi:
- A
- B
- C
- D
Yêu cầu bài toán
\[\begin{gathered}
\Leftrightarrow y' = - {x^2} + 2mx - 4 \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{a = - 1 < 0} \\
{}&{\Delta ' = {m^2} - 4 \leqslant 0}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow {m^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 2. \hfill \\
\end{gathered} \]
Câu 10: Tất cả các giá trị của m để hàm số $ f\left( x \right)=\dfrac{x-m}{x-1} $ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là:
- A
- B
- C
- D
TXĐ: $ \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right);f'\left( x \right)=\dfrac{m-1}{{{\left( x-1 \right)}^ 2 }} $ .
$ f\left( x \right) $ nghịch biến trên từng khoảng xác định $ \Leftrightarrow y' < 0\Leftrightarrow m-1 < 0\Leftrightarrow m < 1 $ .
Câu 11: Cho hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-3}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$
Ta có $y'=-\dfrac{10}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\in D\Rightarrow $Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.
Câu 12: Cho hàm số $ f\left( x \right) $ đồng biến trên tập số thực $ \mathbb{R} $ , mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa hàm số đồng biến SGK lớp 10.
Câu 13: Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}+mx$ nghịch biến trên $R$ là:
- A
- B
- C
- D
$y'=-3{{x}^{2}}+m;y'\le 0\forall x\Leftrightarrow m\le 0$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới