Tính chất của tích phân
Lý thuyết về Tính chất của tích phân
Cho $f, g$ là hai hàm số liên trục trên $K$ và $a, b,c$ là ba số bất kì thuộc $K$ (không nhất thiết cần có $a < b < c$). Khi đó ta có:
- $\displaystyle\int\limits_{a}^{a} {f(x)dx} = 0$.
- $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} = -\displaystyle\int\limits_{b}^{a} {f(x)dx} $.
- $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} + \displaystyle\int\limits_{b}^{c} {f(x)dx} = \displaystyle\int\limits_{a}^{c} {f(x)dx}$.
- $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {\left[f(x) + g(x)\right]dx} = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} + \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx}$.
- $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {kf(x)dx} = k \cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}$ với $k \in \mathbb{R}$.
- Nếu $f(x) \ge g(x)$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx}$.
Nếu $f(x) \ge 0$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge 0$.
Nếu $f(x) \ge m\,\,\,\,(m \in \mathbb{R})$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge m(b - a)$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho $\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=2$ và $\int\limits_{-1}^{2}{g(x)dx}=-1$. Tính $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f(x)-3g(x) \right]dx}$
- A
- B
- C
- D
$\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{2}{xdx+2\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx-3\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}\left| \begin{align} & 2 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=2.2-3.\left( -1 \right)}=\dfrac{17}{2}$
Câu 2: Nếu \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}=7;\,\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}=3\) với \(a < c < b\) thì \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) bằng
- A
- B
- C
- D
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)dx}=4\)
Câu 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A
- B
- C
- D
Khẳng định “Nếu $f\left( x \right)$ liên tục và $f\left( x \right)\ge 0$ trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}\ge 0$” đúng vì:
Giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\ge 0$
+ $F'\left( x \right)=0\Rightarrow F\left( x \right)$ là hàm hằng nên $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=0$
+ $F'\left( x \right)>0\Rightarrow F\left( x \right)$ đồng biến trên \(\left[ a;b \right]\Rightarrow F\left( b \right)>F\left( a \right)\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}>0\)
Câu 4: Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 2;6 \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx=3};\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=7;\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx=5}$. Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
- A
- B
- C
- D
$\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx+}\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx=10}$
Ta có: $\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3g(x)-f(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}-\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=15-7=8}$ $\int\limits_{2}^{3}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3f(x)-4\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx}-4\int\limits_{2}^{3}{dx}=9-4=5}$
$\int\limits_{2}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int\limits_{2}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=2\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}-1\int\limits_{2}^{6}{dx}=20-4=16}$
$\int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=4\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}-2\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}=28-10=18}$
Câu 5: Cho $\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}=12$ và $\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=4$ . Giá trị của \(I=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx}\) bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow 4=I+12\Rightarrow I=-8$
Câu 6: Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=4\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=-2\) khi đó \(\int\limits_{0}^{2}{\left( 2f\left( x \right)-g\left( x\right) \right)dx}\) có giá trị là
- A
- B
- C
- D
\(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}dx=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx-\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=2.4+2=10\)
Câu 7: Cho $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=-4,\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-15$ thì $\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$ có giá trị là:
- A
- B
- C
- D
$\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-4-15=-19$
Câu 8: Chọn khẳng định sai:
- A
- B
- C
- D
Sử dụng tính chất nguyên hàm trong SGK ta được $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$ nên
$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$ là sai.
Câu 9: Nếu $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}=1017$thì \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}\) có giá trị là
- A
- B
- C
- D
\(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=1000\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=1000+1017=2017\)
Câu 10: Nếu $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=4$ thì $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có \(\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}=12\)
Câu 11: Cho $\int\limits_a^b {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2,\int\limits_b^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 5,a < b < c$, thì \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) có giá trị bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)d\text{x}}=-5+2=-3\)
Câu 12: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
- A
- B
- C
- D
Có \(\left| x-1 \right|=\left\{ \begin{align}
& x-1,x\in \left[ 1;2 \right] \\
& 1-x,x\in \left[ 0;1 \right] \\
\end{align} \right.\)$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)d\text{x}}$