Sự tương giao của các đồ thị
Lý thuyết về Sự tương giao của các đồ thị
Sự tương giao của các đồ thị
Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và hàm số $y=g\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( {{C}_{2}} \right)$
Hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$
Giả sử phương trình trên có các nghiệm là ${{x}_{0}},{{x}_{1}},....$
Khi đó , các giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right),{{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};f\left( x \right) \right),....$
Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ luôn luôn cắt đường thẳng $\left( d \right):y=m$ với mọi giá trị của $m$
Giải
$\left( C \right)$luôn cắt $\left( d \right)$ nếu phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1}=m-x$ (1) có nghiệm với mọi $m$
Ta có $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}=m-x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-1=\left( x+1 \right)\left( m-x \right) \\ x\ne -1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2+\left( 2-m \right)x-m-1=0\,\,\,\,(2)\\x\ne -1\end{array} \right.$
Xét phương trình (2) , ta có $\Delta ={{m}^{2}}+8>0$với mọi giá trị của $m$ và $x=-1$ không thỏa mãn (2) nên phương trình luôn có hai nghiệm khác -1 . Vậy $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $ y=\dfrac{2+x}{3-2x} $ và đường thẳng $ y=1 $ . Số giao điểm của hai đồ thị là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \dfrac{2+x}{3-2x}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne \dfrac{3}{2} \\ & 3-2x=x+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3} $
Hai đồ thị giao nhau tại 1 điểm.
Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$ và trục hoành là
- A
- B
- C
- D
Câu 3: Cho hàm số $ y=\dfrac{1-2x}{x+2} $ và đường thẳng $ y=x-1 $ . Tổng hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & \dfrac{1-2x}{x+2}=x-1 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -2 \\ & { x ^ 2 }+x-2=1-2x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x _ 1 }=\dfrac{-3+\sqrt{21}} 2 \\ & { x _ 2 }=\dfrac{-3-\sqrt{21}} 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow { x _ 1 }+{ x _ 2 }=-3 \\ \end{array} $
Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-x$ và trục $Ox$ là
- A
- B
- C
- D
Câu 5: Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3$ cắt trục tung tại điểm $M$ khi đó tung độ điểm M bằng
- A
- B
- C
- D
Do giao cắt với trục tung nên $x=0$ nên thay trực tiếp vào ta được $y={{0}^{4}}+{{2.0}^{2}}-3=-3$.
Câu 6: Cho hàm số $y=(x-2)({{x}^{2}}+1)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Cho hàm số $y=(x-2)({{x}^{2}}+1)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) Với trục hoành là $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow x=2$Vậy (C) cắt trục hoành tại một điểm
Câu 7: 
Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt.
Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt.- A
- B
- C
- D
Nhìn trên đồ thị ta thấy phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi $0 < m < 1$.
Câu 8: Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( c\ne 0,ad-bc\ne 0 \right)\) với hai trục tọa độ là:
- A
- B
- C
- D
Đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất cắt hai trục tọa độ nhiều nhất tại hai điểm.
Câu 9: Cho hàm số $ y=\dfrac{x-2}{1-x} $ và đường thẳng $ y=2x-3 $ . Tổng khoảng cách từ các giao điểm của hai đồ thị đến các trục tọa độ bằng
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & \dfrac{x-2}{1-x}=2x-3 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 1 \\ & -2{ x ^ 2 }+5x-3=x-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{2+\sqrt{2} } 2 \Rightarrow y=\sqrt{2} -1 \\ & x=\dfrac{2-\sqrt{2} } 2 \Rightarrow y=-\sqrt{2} -1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
$ \Rightarrow $ Tổng khoảng cách từ các giao điểm đến các trục tọa độ bằng
$ \left| { x _ 1 } \right|+\left| { x _ 2 } \right|+\left| { y _ 1 } \right|+\left| { y _ 2 } \right|=2\sqrt{2} +2 $
Câu 10: 
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt?
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt?- A
- B
- C
- D
Từ BBT ta thấy ycbt $ \Leftrightarrow 0 < m < 3$Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$