Đồ thị hàm trùng phương

Bằng máy tính dễ dàng kiểm tra được phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1=0$ vô nghiệm. Hay đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$, mà hệ số của ${{x}^{4}}$ là $1>0$ từ đây từ hình dạng đồ thị hàm bậc $4$ ta suy ra đáp án cần tìm là $y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$.

Dựa vào dạng đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{\text{x}}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right)$ trong SGK CB trang 38, ta có số giao điểm của đồ thị và trục $Oy$ là $1$.

Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại điểm cực trị cắt nhau nhiều nhất tại $3$ điểm được thể hiện như hình vẽ.

Đây là đồ thị hàm số $ y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right) $ có $ a > 0 $ .

Ta thấy đồ thị cắt Oy tại điểm (0;2) và cắt Ox tại điểm (2;0) => hàm số $ y=\dfrac{x-2}{x-1}$ thỏa mãn.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $ x=-2 $ và tiệm cận ngang là $ y=-2 $ $ \Rightarrow $ loại 2 phương án $ y=\dfrac{2x-1}{x-2} $ và $ y=\dfrac{2x-1}{x+2} $

Lại có đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương $ \Rightarrow $ chọn đáp án $ y=\dfrac{-2x+1}{x+2} $ .

Hình bên là đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương hoặc đồ thị hàm số bậc 2.
Nhận thấy đồ thị không đối xứng qua Ox nên là dạng đồ thị của hàm số bậc 2.

Đồ thị hàm số hướng lên $ \Rightarrow $ loại $ y=-{ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+1 $ và $ y=-{ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }+1 $

Hàm số đi qua điểm $ \left( 0;-1 \right) $ $ \Rightarrow $ chọn đáp án $ y={ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }-1 $

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 3;0 \right)$ nên loại $y=\dfrac{x+3}{x-1}$và $y=\dfrac{x-1}{x-3}$
Từ đồ thị ta thấy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng của TXĐ nên loại $y=\dfrac{3-x}{x-1}$

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( 2;+\infty \right)\].

Vậy khẳng định “Hàm số đồng biến trên \[\left( 0;2 \right)\]” sai.

Đây là đồ thị hàm số có dạng $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ hơn nữa ta thấy khi $x\to +\infty $ thì $y\to +\infty $ do đó $a>0$.

Đồ thị TCĐ $ x=1 $ , TCN $ y=1 $ $ \Rightarrow $ loại phương án $ y=\dfrac{x-1}{x+1} $ và $ y=\dfrac{-x}{1-x} $

Đồ thị đi qua điểm $ x=0,y=-1 $ $ \Rightarrow $ chọn đáp án $ y=\dfrac{x+1}{x-1} $ .

Từ trái sang phải đồ thị hàm số đi lên $ \Rightarrow $ hệ số của $ { x ^ 3 } $ lớn hơn 0 $ \Rightarrow $ loại 2 phương án $ y=-{ x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-3x $ và $ y=-{ x ^ 3 }-3{ x ^ 2 }-3x $

Phương trình $ y'=0 $ có nghiệm $ x=1 $ $ \Rightarrow $ chọn đáp án $ y={ x ^ 3 }-3{ x ^ 2 }+3x $

Hàm bậc 4 trùng phương đối xứng qua trục Oy và không có tâm đối xứng.

Đây là đồ thị hàm trùng phương có hệ số $a>0$ , đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ âm suy ra $c<0$

Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm trùng phương $ y=a{ x ^ 4 }+b{ x ^ 2 }+c $

Từ dáng đồ thị $ \Rightarrow a > 0 $ $ \Rightarrow $ loại phương án $ y=-\dfrac{1}{4} { x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }-1 $ .

Mà từ đồ thị ta thấy, hàm số chỉ có 1 cực trị tại $ x=0 $ $ \Rightarrow $ chọn $ y={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-1 $.

Hàm bậc nhất trên bậc nhất nhận giao điểm của hai đường tiệm cân làm tâm đối xứng,đồ thị hàm số trên có hai đường tiệm cận \(x=1,y=2\) nên có tâm đối xứng là \(\left( 1;2 \right)\).

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $ x=-1 $

Đồ thị có hình dạng là đường bậc 2 hoặc bậc 4 trùng phương, nên loại $y=-{{x}^{3}}+3x+2$
Đồ thị có cực đại là $\left( 0;2 \right)$ nên $f\left( 0 \right)=2$, vậy chọn $y=-\dfrac{{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+2$

\[\begin{array}{l}
y = a{x^4} + b{x^2} + c\\
\left\{ \begin{array}{l}
y\left( 0 \right) =  - 3\\
y\left( 1 \right) =  - 4\\
y'\left( 1 \right) = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 2\\
c =  - 3
\end{array} \right. \Rightarrow y = {x^4} - 2{x^2} - 3
\end{array}\]

Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm trùng phương $ y=a{ x ^ 4 }+b{ x ^ 2 }+c $

Từ dáng đồ thị $ \Rightarrow a > 0 $ $ \Rightarrow $ loại phương án $ y=-{ x ^ 4 }+4{ x ^ 2 }-1 $ .

Mà từ đồ thị ta thấy, hàm số đạt cực trị tại $ x=\pm 1 $ $ \Rightarrow $ loại phương án $ y={ x ^ 4 }-4{ x ^ 2 }-1 $

Đồ thị hàm số đi qua điểm $ \left( 0;-1 \right)\Rightarrow $ chọn đáp án là $ y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }-1 $ .

\[y = a{x^4} + b{x^2} + c\]. Từ đồ thị suy ra $a<0$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0,0)$, suy ra $c=0$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \[\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\] suy ra chọn D.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại $ y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 $ và $ y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3 $

Khi $ x\to -\infty $ thì $ y\to -\infty $ nên hệ số $ a > 0 $ .

Vậy chọn $ y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3 $

Vì $y\left( -x \right)=a{{\left( -x \right)}^{4}}+b{{\left( -x \right)}^{2}}+c=a{{x}^{4}}+b{{\text{x}}^{2}}+c=y\left( x \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số là hàm số chẵn.
Vậy khẳng định “Hàm số là hàm số lẻ” là sai.

Đồ thị hàm số hướng lên $ \Rightarrow $ loại $ y=-{ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-3 $

Hàm số đi qua điểm $ \left( 1;-4 \right) $ $ \Rightarrow $ chọn đáp án $ y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }-3 $

Vì bảng biến thiên này chỉ xét trên đoạn $\left[ -3;2 \right]$ chứ không phải trên R, nên ta không thể kết luận được số cực trị của hàm số được. Do đó khẳng định : "Hàm số có 2 cực trị." là sai

Phương pháp:

+) Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét những đặc điểm của đồ thì và chọn kết luận đúng.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đồng biến trên $ \left( -1;0 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }\left( 2;+\infty \right), $ nghịch biến trên $ \left( -\infty ;-1 \right) $ và $ \left( 0;2 \right) $

Dựa vào SGK ta biết được hình dạng quen thuộc của đồ thị các hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$, $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}$, $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3$.
$\Rightarrow $ Hình bên là đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{\text{x}}^{3}}$.

Đây là đồ thị hàm bậc $4$ và đi qua điểm $A\left( 0;2 \right)$ nên chỉ có đáp án $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2$ là thỏa mãn.

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm bậc 3 $ y=a{ x ^ 3 }+b{ x ^ 2 }+cx+d $ $ \Rightarrow $ loại phương án $ y=\dfrac{2x-2}{x+1} $ và $ y={ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2 $

Từ trái sang phải, đồ thị hàm số đi lên $ \Rightarrow a > 0 $ . Đồ thị hàm số đi qua điểm $ \left( 0;-2 \right) $ $ \Rightarrow $ chọn đáp án là $ y={ x ^ 3 }+x-2 $

Đồ thị TCĐ $x=-1$ nên loại $y=\dfrac{-2x+1}{2x+1}$

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $\left( 0;1 \right)$ nên loại $y=\dfrac{-x}{x+1}$ và $y=\dfrac{-x+2}{x+1}$

Từ BBT ta thấy $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-2\Rightarrow y=-2$ là tiệm cận ngang.
Mặt khác $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow x=0$ làm tiệm cận đứng và $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,y=0\Rightarrow x=2$ không là tiệm cận đứng.
Vậy khẳng định “Đồ thị hàm số nhận $x=2$ làm tiệm cận đứng” sai.