Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in \mathbb{R}$, và số $i$ thỏa mãn $i^2 = -1$ được gọi là một số phức.
 - $a$ là phần thực
 - $b$ là phần ảo 

Tập hợp các số phức kí hiệu $\mathbb{C}$

Ví dụ. Các số sau là những số phức: $2+5i;\,\,\,-\sqrt{2}+3i;\,\,\,1+\left( -3 \right)i;\,\,\,1+\sqrt{3}i;\,\,\,3i;\,\,\,-1$.

Chú ý.

• Số phức có phần ảo bằng $0$ ($z = a + 0i$) được coi là số thực
• Số phức có phần thực bằng $0$ ($z = 0 + bi$) được gọi là số ảo (hay số thuần ảo).
• Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Cụ thể, nếu $ z = a + bi,(a, b \in \mathbb{R}) $ và $ z' = a' + b'i,(a', b' \in \mathbb{R})$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi $$a = a', b = b'.$$Ví dụ. Tìm các số thực $x$ và $y$, biết: $$\left( 2x+1 \right)+\left( 3y-2 \right)i=\left( x+2 \right)+\left( y+4 \right)i. $$Giải. Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau ta có: $\left\{\begin{array}{l} 2x+1=x+2\\ 3y-2=y+4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 3\end{array}\right.$.

Điểm biểu diễn số phức

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$

• Với mỗi $z = a + bi\,\,\, (a, b \in \mathbb{R})$ ta đặt tương ứng điểm $M(a;b)$ 
• Với mỗi $M(a;b)$ là điểm biểu diễn một số phức $z = a + bi$.
• $Ox$ được gọi là trục thực
• $Oy$ được gọi là trục ảo

Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(a; b)$ biểu diễn $z = a + bi$.

 $M$ biểu diễn số phức $z$ cũng có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.

Nếu $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}'$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z, z'$ thì:

• $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}'$ biểu diễn số phức $z + z'$.
• $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u}'$ biểu diễn số phức $z - z'$.

Số phức liên hợp

Cho số phức $z=a+bi (a,b \in \mathbb{R})$. Ta gọi số phức $a-bi$ là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\bar{z}$. $$z = a + bi \Rightarrow \bar{z} = a - bi.$$Ta có các tính chất sau của số phức liên hợp:$\overline{\bar{z}} = z$.$\overline{z \pm z'} = \overline{z} \pm \overline{z'}$.$\overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$.$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}} (z' \ne 0)$.

Mô đun số phức

Định nghĩa: Môđun của số phức $z = a + bi (a, b \in \mathbb{R})$, kí hiệu là $|z|$ hoặc $|a + bi|$, là một số thực không âm cho bởi công thức $\left| a+bi \right|=\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Từ đó ta có thể suy ra $z \bar{z} = |z|^2$ và $|\bar{z}| = |z|$ với mọi số phức $z$.

Nếu $z \in \mathbb{R}$ ($z$ là số thực) thì môđun của $z$ chính là giá trị tuyệt đối của số thực đó và $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

Ví dụ. $\left| 3-2i \right|=\sqrt[{}]{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt[{}]{13}$

Tính chất: Với hai số phức $z_1, z_2$ bất kỳ ta có:

$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$

$|z_1 - z_2| \ge \Big| |z_1| - |z_2| \Big|$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$

$| z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (với $z_2 \ne 0$).