Tổng n số hạng của cấp số nhân

$ {{S}_{5}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}={{6}^{5}}-1 $

$ {{S}_{4}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}={{6}^{4}}-1 $

$ \Rightarrow {{u}_{5}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}={{6}^{5}}-{{6}^{4}}=6480 $ .

 Công bội của cấp số nhân là. $ q=\dfrac{-6}{3}=-2 $ . Ta có:
$ {{S}_{k}}=\dfrac{3. \left[ 1-{{\left( -2 \right)}^{k}} \right]}{1-\left( -2 \right)}=-16383\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{k}}=16384\Rightarrow k=14\Rightarrow {{u}_{14}}=-24576. $

. Ta có. $ {{u}_{6}}=224\Leftrightarrow {{u}_{1}}{{q}^{5}}=224\Rightarrow q=2 $ . Do $ {{S}_{k}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right) $ nên $ {{S}_{k}}=3577 $
$ \Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}\Rightarrow k=9 $ . Suy ra $ T=10. {{u}_{9}}=10. {{u}_{1}}. {{q}^{8}}=17920 $

. Ta có $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}. \dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q} $ nên theo giả thiết, ta có $ 5. \dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=200\Leftrightarrow {{3}^{n}}=81\Leftrightarrow n=4 $
Suy ra $ {{u}_{4}}={{u}_{1}}. {{q}^{3}}=135. $

. Ta có. $ \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\
{{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=10 \\
{{x}_{2}}q\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}=2 \\
q=2
\end{array} \right. $
Suy ra $ {{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{2}}}{q}=1\Rightarrow S=\dfrac{1. \left( 1-{{2}^{50}} \right)}{1-2}={{2}^{50}}-1 $

 Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $ và $ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $
Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5. $

Cách 1.

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $ và $ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $

Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{20}}={{u}_{1}}. {{q}^{19}}={{4. 5}^{19}} $.

Cách 2.

Ta có: $S_n = \dfrac{q^n - 1}{q- 1} u_1 = 5^n - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ \dfrac{u_1}{q - 1} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ u_1 = 4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow u_{20} = u_1 q^{19} =  4 \cdot 5^{19}$.

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $ và $ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $
Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{n}}={{4. 5}^{n-1}} $.

\({{u}_{n}}\) là cấp số nhân nên ta có

\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_3} = {u_1}.{q^2} = 16}\\
{{u_6} = {u_1}.{q^5} = 128}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{q^3} = 8}\\
{{u_1}.{q^2} = 16}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
q = 2\\
{u_1} = 4
\end{array} \right.\]

Ta xét: $ { u _ n }+a=5({ u _{n-1}}+a)\Leftrightarrow { u _ n }=5{ u _{n-1}}+4a $

Kết hợp với đề bài $ \Rightarrow 4a=6\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2} $

Vậy $ { u _ n }=5{ u _{n-1}}+6\Leftrightarrow { u _ n }+\dfrac{3}{2} =5\left( { u _{n-1}}+\dfrac{3}{2} \right) $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+\dfrac{3}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} $ và $ { v _ n }=5{ v _{n-1}} $

Suy ra dãy số $ ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có $ { v _ 1 }=\dfrac{7}{2} $ , công bội $ q=5 $

$ \begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}} \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}}-\dfrac{3}{2} \\ & \Rightarrow { u _ 6 }=10936. \\ \end{align} $

Từ đề bài suy ra $ f(n)=8{ n ^ 2 }+14n+1 $ là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức

$ g(n)=a{ n ^ 2 }+bn+c $ sao cho $ { u _{n+1}}+g(n+1)=9\left[ { u _ n }+g(n) \right] $

$ \begin{align} & \Rightarrow { u _{n+1}}+a{{(n+1)}^ 2 }+b(n+1)+c=9\left[ { u _ n }+a{ n ^ 2 }+bn+c \right] \\ & \Rightarrow { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a \\ \end{align} $

Mà $ { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8{ n ^ 2 }+14n+1 $ nên ta phải có:

$ 8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a=8{ n ^ 2 }+14n+1 $

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8a = 8\\
8b - 2a = 14\\
8c - b - a = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2\\
c = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow g(n) = {n^2} + 2n + \frac{1}{2}\]

Do đó: $ { u _{n+1}}+{{(n+1)}^ 2 }+2(n+1)+\dfrac{1}{2} =9\left[ { u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right] $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{7}{2} =\dfrac{17} 2 $ và $ { v _{n+1}}=9{ v _ n } $

Suy ra $ ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có $ { v _ 1 }=\dfrac{17} 2 $ , công bội $ q=9 $

$ \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{17} 2 {{.9}^{n-1}}=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}} $ mà

$ { v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\left( { n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}}-{ n ^ 2 }-2n-\dfrac{1}{2} $

$ \Rightarrow { u _ 7 }=4517185 $

Gọi ba số đã cho là: $ { u _ 1 },{ u _ 2 },{ u _ 7 } $ là ba số của một cấp số cộng

Còn cấp số nhân $ ({ v _ n }) $ . Theo giả thiết ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} + {v_2} + {v_3} = 93\\
{v_1} = {u_1}\\
{u_1} + d = {v_1}q\\
{u_1} + 6d = {v_1}{q^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1}(1 + q + {q^2}) = 93\\
d = {u_1}(q - 1)\\
6d = {u_7} - {u_1} = {u_1}({q^2} - 1)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}(1 + q + {q^2}) = 93(*)\\
{u_1}(q - 1) = \frac{1}{6}{u_1}({q^2} - 1)(1)\\
d = {u_1}(q - 1)
\end{array} \right.\]

Do: $ { u _ 1 }\ne 0,q\ne 1\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{6} (q+1)\Leftrightarrow q=5 $

Theo (*): $ { v _ 1 }+5{ v _ 1 }+25{ v _ 1 }=93\Leftrightarrow { u _ 1 }=3 $

Vậy 3 số đó là: $ 3,15,75 $

Theo đề bài: $ { u _{n+1}}=2{ u _ n }+5\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2\left[ { u _ n }+\dfrac{5}{2} \right] $

Ta tìm số $ a $ thoả mãn: $ { u _{n+1}}+a=2\left[ { u _ n }+a \right]\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2{ u _ n }+a $

Mà $ { u _{n+1}}=2{ u _ n }+5 $ nên ta có $ a=5 $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+5\Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+5=6 $ và $ { v _{n+1}}=2{ v _ n } $

$ \Rightarrow ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có công bội $ q=2 $

$ \begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}={{6.2}^{n-1}}={{3.2}^ n } \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-5={{3.2}^ n }-5 \\ & \Rightarrow { u _{2018}}={{3.2}^{2018}}-5 \\ \end{align} $

Ta có:

$ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _ 2 }={ u _ 1 }+3.1-1-{{2.5}^ 1 } \\ & { u _ 3 }={ u _ 2 }+3.2-1-{{2.5}^ 2 } \\ & ................................. \\ & { u _ n }={ u _{n-1}}+3.(n-1)-1-{{2.5}^{n-1}} \\ \end{align} $

Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra:

$ { u _ n }=1+3\left[ 1+2+3+...+(n-1) \right]-(n-1)-2\left[ { 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} \right] $

Trong đó: $ 1+2+3+...+(n-1)=\dfrac{(n-1)n} 2 $

Và tổng $ A={ 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} $ là tổng của $ n-1 $ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất $ { a _ 1 }=5 $ , công bội $ q=5 $

$ \Rightarrow A={ S _{n-1}}={ a _ 1 }\dfrac{1-{ q ^{n-1}}}{1-q}\Rightarrow A=5.\dfrac{1-{ 5 ^{n-1}}}{-4}=-\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 $

$ \begin{align} & { u _ n }=2-n+3\dfrac{(n-1)n} 2 -2\left[ -\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 \right]=\dfrac{1}{2} (3{ n ^ 2 }-5n+9-{ 5 ^ n }) \\ & \Rightarrow { u _{10}}=-4882683 \\ \end{align} $

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội là:

$ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=12288{ m ^ 2 } \\ & q=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right. $

Vì tháp có 11 tầng nên diện tích mặt trên cùng là số hạng thứ 12 của cấp số

$ \Rightarrow S={ u _{12}}={ u _ 1 }.{ q ^{12-1}}={ u _ 1 }.{ q ^{11}}=12288.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{11}}=6{ m ^ 2 } $

Gọi 4 số đó là: $ { a _ 1 },{ a _ 2 },{ a _ 3 },{ a _ 4 } $ . Theo giả thiết ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}
a_2^2 = {a_1}{a_3}\\
2{a_3} = {a_2} + {a_4}\\
{a_1} + {a_4} = 14\\
{a_2} + {a_3} = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{a_1}{q^2} = {a_1}q + {a_2} + 2d\\
{a_1} + {a_2} + 2d = 14\\
{a_1}q + {a_1}{q^2} = 12\\
{a_2} + {a_2} + d = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_2^2 = {a_1}({a_2} + d)(*)\\
{a_2} + 2d = 14 - {a_1}\\
{a_1} = \frac{{12}}{{q + {q^2}}}\\
d = 12 - 2{a_2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ trên ta có 4 số đó là: $ \left[ \begin{align} & (2,4,8,12) \\ & \left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right) \\ \end{align} \right. $ ‘

Nhưng do điều kiện giả thiết nên ta tìm được 4 số đó là: $ \left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right) $

Ta có:

$ VT=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}+a\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^{2n}}-1+a{ q ^ n }-a}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a} $

$ VP=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{3n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^{3n}}-{ q ^{2n}}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^ n }({ q ^{2n}}-{ q ^ n })}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }} $

$ VT=VP\Leftrightarrow $ $ \dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }} $

\[\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {q^{2n}} - {q^n} = {q^{2n}} + a{q^n} - 1 - a\\
 \Leftrightarrow a{q^n} + {q^n} - 1 - a = 0\\
 \Leftrightarrow {q^n}(a + 1) - (a + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow (a + 1)({q^n} - 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
{q^n} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]

Gọi các số phải tìm là $ a,aq,a{ q ^ 2 },a{ q ^ 3 } $ (Với $ q $ là công bội của cấp số nhân)

Khi đó theo giả thiết: $ a-2,aq-1,a{ q ^ 2 }-7,a{ q ^ 3 }-27 $ lập thành cấp số cộng

Do đó: $ \left\{ \begin{align} & 2(aq-1)=(a-2)+(a{ q ^ 2 }-7) \\ & 2(a{ q ^ 2 }-7)=(aq-1)+(a{ q ^ 3 }-27) \\ \end{align} \right. $

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}
a{(q - 1)^2} = 7\\
aq{(q - 1)^2} = 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 7\\
q = 2
\end{array} \right.\]

Vậy bốn số đó là: $ 7,14,28,56 $