Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Do $ 2\cos x-\sin x+4 > 0 $ với $ \forall x $ nên

Phương trình $ m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4} $

$ \Leftrightarrow $ $ m\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)=\cos x+2\sin x+3 $ có nghiệm.

$ \Leftrightarrow \left( 2m-1 \right)\cos x-\left( m+2 \right)\sin x=3-4m $ có nghiệm $ \Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3-4m \right)}^{2}} $ $ \Leftrightarrow 11{{m}^{2}}-24m+4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{2}\le m\le 2 $ .

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 1} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}} \\ { \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.} \end{array}$$\begin{gathered} x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \[ \Rightarrow \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{7\pi }}{6}\]

$ \begin{array}{l} 2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x \\ \Leftrightarrow 2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x+\sin x \\ \Leftrightarrow \sin 3x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x \end{array} $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=x+\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x=\pi -\left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array} $

Suy ra có 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là $ x=\dfrac{\pi }{6},x=\dfrac{2\pi }{3},x=\dfrac{7\pi }{6},x=\dfrac{5\pi }{3} $

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1}\\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{360}^0}k}\\ { - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} + {{45}^0} + {{360}^0}k} \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1}\\ {x = - \frac{{{{165}^0}}}{2} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{165}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1} \end{array}} \right.} \end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$

$\begin{array}{l} {{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x \right)=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x \right]=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( 1-\dfrac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x \right)-\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ 2{{\cos }^{2}}2x-13\cos 2x+6=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ \cos 2x=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2} \\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right. \left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array}$

+ Ứng với họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}$ cho 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
+ Ứng với $x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi $ cũng cho 4 điểm biểu diễn
Vậy có 8 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Ta có
$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\left( 1+\cos 2x \right)=3+\cos 2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\left( \sqrt{2}-1 \right)\cos 2x=3-\sqrt{2} \\
& a=\sqrt{2}\,\,;\,b=\sqrt{2}-1;\,c=3-\sqrt{2} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=5-2\sqrt{2} \\
& {{c}^{2}}={{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{2}}=11-6\sqrt{2} \\
\end{align}$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$, vô nghiệm.

$x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của phươn g trình nên chia cả 2 vế cho   ${\cos ^2}x$ ta được

$2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 1 \hfill \\ \tan x = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$ 

Biến đổi PT để được $ m\sin 2x+(m+1)\cos{2x} + 2m+1 = 0 $

Phương trình $a\sin{x} + b\cos{x} =c$ có nghiệm khi và chỉ khi $ { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }\ge { c ^ 2 } $

Áp dụng ta có:

$m^2 + \left( m+1 \right)^ 2 \ge \left( 2m+1 \right)^ 2$

$\Leftrightarrow 2m^2 + 2m+1\ge 4m^2+4m+1$

$\Leftrightarrow -2{ m ^ 2 }-2m\ge 0 $

Từ đó ta được $ -1\le m\le 0$

$\begin{array}{*{20}{l}} \sin x - 3\cos x = 0 \\ \Leftrightarrow 3\cos x = \sin x \\ \Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x = arc\cot \frac{1}{3} + k\pi ;k \in \mathbb{Z} \\ \end{array}$
Vậy $ m=\dfrac{1}{3}. $

Phương trình $\Leftrightarrow $ $\cos 7x+\sqrt{3}\sin 7x=\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 7x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x+\dfrac{1}{2}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\cos 7x+\sin \dfrac{\pi }{3}\sin 7x=\cos \dfrac{\pi }{6}\cos 5x+\sin \dfrac{\pi }{6}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos (7x-\dfrac{\pi }{3})=\cos (5x-\dfrac{\pi }{6})$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\dfrac{\pi }{3}=5x-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 7x-\dfrac{\pi }{3}= -(5x-\dfrac{\pi }{6})+k2\pi \\ \end{align} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 12x = \dfrac{{\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{24} + \dfrac{{k\pi }}{6} \end{array} \right.k \in Z$

Ta có
$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\left( 1+\cos 2x \right)=3+\cos 2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\left( \sqrt{2}-1 \right)\cos 2x=3-\sqrt{2} \\
& a=\sqrt{2}\,\,;\,b=\sqrt{2}-1;\,c=3-\sqrt{2} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=5-2\sqrt{2} \\
& {{c}^{2}}={{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{2}}=11-6\sqrt{2} \\
\end{align}$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$, vô nghiệm

$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{180}^0}k} \\ { - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} - {{45}^0} + {{180}^0}k} \end{array}} \right.} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1,k = 2} \\ {x = - \frac{{{{75}^0}}}{2} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{75}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 2,k = 3} \end{array}} \right.} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = {\frac{{465}}{2}^0};x = {\frac{{285}}{2}^0} \hfill \\ \end{gathered} $

là 2 nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc \[\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)\].

Phương trình (1)$\Leftrightarrow \sqrt{3}(1+\cos 2x)+3\sin 2x=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \cos (2x-\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.k \in Z$

(1) $ 2\sin x-\sqrt{5}=0 $ ⇔ $sinx= \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $⇒ Phương trình vô nghiệm
(2) $ {{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0 $⇒ Phương trình vô nghiệm
(3) $ {{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4} $⇒ Phương trình vô nghiệm

ĐK: $\sin x \ne 0,\cos x \ne {0}$.

Ta có $\dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cot x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$