Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác
Lý thuyết về Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác
Vận dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm, kết hợp với các kiến đại số như giải phương, điều kiện có nghiệm v..v...
Ví dụ: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+2$ . Giải phương trình $f\left( x \right)'=0$
Giải: $f\left( x \right)'=3{{x}^{2}}-6x-9$.
$f\left( x \right)' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ . Tổng các nghiệm phương trình $y'=0$ là
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $x\ne 1$
$y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ suy ra $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$ (t/m)
Vậy tổng các nghiệm là 2.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-2017$. Tập nghiệm của bất phương trình \[f'\left( x \right) \le 0\] là:
- A
- B
- C
- D
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 2$
Câu 3: Cho hàm số $y=\tan x$. Khi đó giá trị của biểu thức $\ y'-{{y}^{2}}-1$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$
\(\begin{align}
& \Rightarrow y'-{{y}^{2}}-1=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-1 \\
& =\dfrac{1-{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\
& =\dfrac{1-\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{1-1}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\
\end{align}\)
Câu 4: Cho hàm số $y=sin2x$. Nghiệm phương trình \({\left( y' \right)}^{2}+4{{y}^{2}}-4y=0\) là
- A
- B
- C
- D
Ta có \(y'=2cos2x\)
\(\begin{align}
& \Rightarrow {{\left( y' \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}-4y=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow 4-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow \sin 2x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
\end{align}\)
Câu 5: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}$ . Tất cả các giá trị m để nghiệm phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
- A
- B
- C
- D
Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx=x\left( x-2m \right)$
Để $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $m\ne 0$
Câu 6: Cho hàm số \(y=cot2x\). Khi đó giá trị của biểu thức $\ y'+2{{y}^{2}}$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $y'=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}$
$\Rightarrow y'+2{{y}^{2}}=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}+\dfrac{2{{\cos }^{2}}2x}{{{\sin }^{2}}2x}=\dfrac{-2\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)}{{{\sin }^{2}}2x}=-2$
Câu 7: Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3\) . Tất cả các giá trị m để nghiệm phương trình $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt
- A
- B
- C
- D
Ta có \(y'=-4{{x}^{3}}-2mx=-2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)\)
Để $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì $m<0$