Điều kiện đủ để hàm số có cực trị .Quy tắc I, II

Ta có: $ y'=3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=2 \end{array} \right.; $ $ y''=6x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=6 > 0\Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $ x=2\Rightarrow $ điểm cực tiểu $ A\left( 2;-2 \right) $

Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung là: $ d\left( A;Oy \right)=\dfrac{\left| 2 \right|}{1}=2. $

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu là $ -1 $ .

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $ 2 $ .

Từ đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Từ đồ thị hàm số $ y=f'\left( x \right) $ đã cho ta thấy phương trình $ f'\left( x \right)=0 $ có nghiệm duy nhất $ {{x}_{0}} < -1 $ .

Bảng biến thiên của hàm số $ y=f\left( x \right) $ là

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $ {y=f\left( x \right)} $ có 1 điểm cực tiểu và không có cực đại.

“$y=f\left( x \right)$ có hai cực trị trên $\left[ a,b \right]$” là khẳng định đúng, nếu hai nghiệm của $y'=0$ trùng với $a$ hoặc $b$ thì “$y=f\left( x \right)$ luôn có hai cực trị trên $\left( a,b \right)$” sai, Nếu hai nghiệm của $y'=0$ khác với a và b thì hai khẳng định còn lại sai

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy ngay hàm số có 2 điểm cực đại là $x=-1;x=1$

$x=0$ không là điểm cực trị vì hàm số không xác định tại $x=0$

Từ đồ thị trên, ta thấy ngay

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $ x=0 $ và $ { y _{CD}}=4 $

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $ x=2 $ và $ { y _{CT}}=0 $ .

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy ngay

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $ x=1\Rightarrow { y _{C D }}=y\left( 1 \right)=3 $

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $ x=2\Rightarrow { y _{CT}}=y\left( 2 \right)=0 $

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $ x=-1 $ .

Cách 1. Do tiếp tuyến tại cực trị luôn song song hoặc trùng với trục \(Ox\) mà trong 4 đáp án chỉ có $y=92$ là song song với \(Ox\) nên $\Rightarrow y=92$ là tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2. Ta có $y'=12{{x}^{3}}+12x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0$, vì là tiếp tuyến tại cực trị nên hệ số góc $k=0$
$\Rightarrow y=92$ là tiếp tuyến cần tìm.

(I) sai vì: Hàm số có thể có cực đại nhỏ hơn cực tiểu.

(II) sai vì: Nếu $y=f\left( x \right)$ không có cực trị thì phương trình $f'\left( x \right)=0$ có thể có duy nhất nghiệm.

(III) sai vì: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai cực trị có thể là hàm bậc hai trên bậc nhất chứ chưa chắc là hàm bậc ba.

Chọn phương án đúng là: “Nếu $y=f\left( x \right)$ là hàm bậc bốn thì $y=f\left( x \right)$ luôn có cực trị” vì hàm bậc bốn có đạo hàm là một hàm bậc 3, do đó luôn có nghiệm bội lẻ, tức là luôn có cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $ x=2 $ và giá trị cực đại là $ {{y}_{C}}=5 $ .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đạt cực đại tại $ x=2 $ .

$ f'\left( x \right)=\dfrac{3}{{}{{\left( x-1 \right)}^ 2 }} > 0 $ với mọi x thuộc tập xác định nên hàm số luôn đồng biến, suy ra hàm số không có cực trị.

Hàm trùng phương $ y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c $ có $ a,b $ trái dấu thì sẽ có 3 cực trị.

Từ bảng trên, ta thấy ngay

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $ x=1\Rightarrow { y _{C D }}=y\left( 1 \right)=4 $

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $ x=-1\Rightarrow { y _{CT}}=y\left( -1 \right)=0 $

Vì hàm số có 1 cực trị nên $y=f\left( x \right)$ có thể là hàm trùng phương có $y'=0$ có một nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Ta có $y'=-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0$, với mọi $x\ne 1\Rightarrow $ hàm số không có cực trị.

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy ngay

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $ x=0\Rightarrow { y _{C D }}=y\left( 0 \right)=0 $

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $ x=1\Rightarrow { y _{CT}}=y\left( 1 \right)=-1 $

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm làm đồ thị chuyển hướng đi lên – xuống tại $x=0$ và $x=1$ vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Từ đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của hàm số là $ x=0$ .

$ f'\left( x \right)=\sqrt{{ x ^ 2 }+2x}+1>0 $ với mọi x thuộc tập xác định nên hàm số luôn đồng biến, suy ra hàm số không có cực trị.

\[ f\left( x \right) \] đồng biến trên khoảng \[ \left( -\infty \,;\,1 \right) \] là sai vì chứa phần tử không xác định $x=-1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $ {{x}_{CT}}=0 $ và đạt cực đại tại $ {{x}_{CD}}=2 $ .

Quan sát đồ thị đã cho ta nhận thấy trên đoạn $ \left[ -3;3 \right] $ hàm số $ y=f\left( x \right) $ có ba điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y' đổi dấu từ "+" snag "-" tại $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$

Hàm số $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+2$ là hàm bậc 4 trùng phương có hệ số của ${{x}^{4}}$ lớn hơn $0$ và $y'=0$ luôn có 3 nghiệm nên luôn đạt cực đạt tại $x=0$.

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy, x=2 là  điểm tiểu của hàm số

\[\begin{array}{l}
y' =  - 3{x^2} + 16x - 13\\
y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \dfrac{{13}}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Ta có \[y'' =  - 6x + 16 \Rightarrow y''\left( 1 \right) = 10 > 0 \Rightarrow \] hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Hàm số $ y=\dfrac{ax+b}{cx+d} $ có không có điểm cực trị.

Ta có $2016.\left( -2017 \right)<0$ nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $ x=2\Rightarrow { y _{CD}}=y\left( 2 \right)=3 $

Ta thấy $ {f}'\left( 0 \right)=0 $ và $ {f}'\left( x \right) $ đổi ấu từ âm sang dương khi đi qua $ x=0 $ nên hàm số đạt cực tiểu tại $ x=0 $ .

Nếu $f'({{x}_{}})<0$ trên khoảng $({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)$và$f'(x)>0$ trên khoảng $({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là sai do với điều kiện trên thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực đại.
Còn với các giải thiết có $f'(x)\le 0$ thì cần thêm điều kiện $f'\left( x \right)=0$ chỉ tồn tại hữu hạn điểm ${{x}_{0}}$ là nghiệm.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=2 $ vì $ {y}' $ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $ x=2 $ .

Nhận thấy đồ thị hàm $y=f'\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại 4 điểm phân biệt và đổi dấu khi qua các điểm nên hàm số $y=f\left( x \right)$ có 4 cực trị.

Từ BBT ta được khẳng định “Hàm số đạt giá trị cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=-1$”.

Nhận thấy $y'$ đổi dấu từ “-” sang “+” tại $x=1$ và đổi dấu từ “+” sang “-” tại $x=4$
Nên đồ thị hàm số có $1$ điểm cực tiểu, $1$ điểm cực đại.

Dựa vào BBT chỉ thấy $y'$ đổi dấu từ “+” sang “-” khi qua $x=1$ nên hàm số có 1 điểm cực đại.

Nhận thấy $y'$ đổi dấu qua $x=0,x=1,x=2$, song do hàm số không xác định tại $x=1$ nên đồ thị hàm số chỉ có $2$ điểm cực trị.

Mệnh đề ” Hàm số có giá trị cực đại bằng 0” sai vì theo bảng biến thiên “ Hàm số có giá trị cực đại bằng 3”

Vì $y'$ đổi dấu khi qua $x=2$ nên đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.

Vì $f'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên $\left( -2;2 \right)$.