Công thức nghiệm thu gọn
Lý thuyết về Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right);b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac\]
- Nếu \[\Delta ' > 0\] thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\[{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\]
- Nếu \[\Delta ' = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[x = - \dfrac{{b'}}{a}\]
- Nếu \[\Delta ' < 0\] thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ: giải phương trình
\[\begin{array}{l}
{x^2} - 4x + 3 = 0\\
b' = - 2;\Delta ' = 4 - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 1\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = - \left( { - 2} \right) + 1 = 3\\
{x_2} = - \left( { - 2} \right) - 1 = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Giá trị của m để phương trình $ 3{{x}^{2}}-2x+m=0 $ vô nghiệm là
- A
- B
- C
- D
Phương trình $ 3{{x}^{2}}-2x+m=0 $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta ' < 0\Leftrightarrow 1-3m < 0\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3} $
Câu 2: Nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x - 5 = 0$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
\[\begin{gathered}
\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 5} \right) = 9 + 5 = 14 \hfill \\
\Rightarrow \left[ \begin{gathered}
{x_1} = 3 + \sqrt {14} \hfill \\
{x_2} = 3 - \sqrt {14} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \]
Câu 3: Số giá trị của m để phương trình $ {{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+4=0 $ có nghiệm kép là
- A
- B
- C
- D
Phương trình có nghiệm kép
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\left( {m - 1 - 4} \right)\left( {m - 1 + 4} \right) = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} m = 5\\ m = - 3 \end{array} \right. \end{array}$
Câu 4: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có nghiệm kép?
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}-8x-16=0 $ có $ \Delta '={{\left( -4 \right)}^{2}}+16=32 > 0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$ -{{x}^{2}}+8x+16=0 $ có $ \Delta '={{4}^{2}}-\left( -1 \right).16=32 > 0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$ -{{x}^{2}}-8x+16=0 $ có $ \Delta '={{\left( -4 \right)}^{2}}-\left( -1 \right).16=32 > 0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$ {{x}^{2}}-8x+16=0 $ có $ \Delta '={{4}^{2}}-16=0\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm kép.
Câu 5: Số nghiệm của phương trình $ {{x}^{2}}-2\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0 $ là
- A
- B
- C
- D
$ \Delta '={{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2}}+1 > 0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 6: Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}-4x-17=0 $ có $ \Delta '={{\left( -2 \right)}^{2}}+17 > 0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$ -{{x}^{2}}-\sqrt{3}x-50=0 $ có $ \Delta ={{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-4.50 < 0\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
$ 71{{x}^{2}}+8x+1=0 $ có $ \Delta '={{5}^{2}}-4.371 < 0\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
$ {{\left( x-5 \right)}^{2}}+3 > 0\forall x\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
Câu 7: Phương trình $ 7{{x}^{2}}+10x-8=0 $ có bao nhiêu nghiệm dương?
- A
- B
- C
- D
$ 7{{x}^{2}}+10x-8=0 $ có $ \Delta '={{5}^{2}}+56=81\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}}=\dfrac{4}{7};{{x}_{2}}=-2 $ .
Câu 8: Trong trường hợp phương trình $ -{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m=0 $ có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình $ -{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m=0 $ có:
$ {\Delta }'=-m $ phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $ -m > 0\Leftrightarrow m < 0 $
Khi đó: $ {{x}_{1}}=m-\sqrt{-m} $
$ {{x}_{2}}=m+\sqrt{-m} $
Câu 9: Cho phương trình $ {{x}^{2}}+2x-7=0 $ . Chọn khẳng định đúng.
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}+2x-7=0 $ có $ \Delta '={{1}^{2}}+7=8\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}}=-1+2\sqrt{2} > 0;{{x}_{2}}=-1-2\sqrt{2} < 0 $ .
Câu 10: Phương trình $ {{x}^{2}}+4x+5=0 $ có tập nghiệm là :
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}+4x+5=0 $ có $ \Delta '=2-5=-3 < 0 $ nên phương trình vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình là $ {{x}^{2}}-3x-5=0 $ .