Căn bậc ba

Bài sau

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Căn bậc ba

1. Định nghĩa căn bậc ba

Căn bậc ba của một số $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$
Căn bậc ba của số $a$ được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$
Như vậy ${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = a$
Mọi số thực đều có căn thức bậc ba.

2. Tính chất của căn bậc ba

a) Nếu $a < b$ thì $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$
b) $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
c) Với $b ≠ 0$ thì $\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}$

3. Ví dụ

a. Thực hiện phép tính $A = \sqrt [ 3 ] { 2 + \sqrt { 5 } } + \sqrt [ 3 ] { 2 - \sqrt { 5 } }$

Ta có:

$\begin{array}{l}2 + \sqrt 5 = \dfrac{{16 + 8\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 }}{8} = {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^3}\\2 - \sqrt 5 = \dfrac{{16 - 8\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 }}{8} = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^3}\end{array}$

$\Rightarrow A = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} = 1$

b. Giải phương trình $\sqrt [ 3 ] { 2 - 3 x } = - 2$

Ta có $\sqrt [ 3 ] { 2 - 3 x } = - 2 \Leftrightarrow 2 - 3 x = - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac { 10 } { 3 }$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho $A=2\sqrt[3]{3}$ và $B=\sqrt[3]{25}$ . Chọn khẳng định đúng

A
$A\ge B$ .
B
$A < B$ .
C
$A > B$ .
D
$A+B=0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$A=2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{8}.\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{24}$

Vì $24 < 25\Leftrightarrow \sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{25}\Rightarrow 2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{25}$ hay $A < B$ .

Câu 2: Cho $A=3\sqrt[3]{2}$ và $B=\sqrt[3]{42}$ . Chọn khẳng định đúng.

A
$A < B$ .
B
$A\ge B$ .
C
$A > B$ .
D
$A+B=0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $A=3\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{54}$

Vì $54 > 42\Leftrightarrow \sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{42}\Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{42}$ hay $A > B$

Câu 3: Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}}$ ta được

A
$-8a$ .
B
$20a$ .
C
$9a$ .
D
$14a$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}}$ $=2\sqrt[3]{{{(3a)}^{3}}}-3\sqrt[3]{{{(2a)}^{3}}}+4\sqrt[3]{{{(5a)}^{3}}}$ $=2.3a-3.2a+4.5a=20a$ .

Câu 4: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2$ .

A
Là số nguyên.
B
Là số vô tỉ.
C
Là số nguyên âm.
D
Là phân số.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}={{(x+2)}^{3}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8\Leftrightarrow 12x+8=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình là phân số.

Câu 5: Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}}$ ta được

A
$\dfrac{7a}{8}$ .
B
$\dfrac{5a}{8}$ .
C
$\dfrac{5a}{24}$ .
D
$\dfrac{7a}{24}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}}$ $=\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{3}{8}a \right)}^{3}}}+\sqrt[3]{{{\left( 4a \right)}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{{{\left( 10a \right)}^{3}}}$

$=\dfrac{-3}{8}a+4a-\dfrac{10}{3}a=\dfrac{7a}{24}$ .

Câu 6: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ ta được

A
$A=3$ .
B
$A=6$ .
C
$A=\sqrt{3}$ .
D
$A=27$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$

Suy ra: ${{A}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)}^{3}}$

$={{\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} \right)}^{3}}+{{\left( \sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)}^{3}}+3\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}.\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)$ $=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3.\sqrt[3]{\left( 9+4\sqrt{5} \right)\left( 9-4\sqrt{5} \right)}.A$ (vì $A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ )

$=18+3\sqrt[3]{{{9}^{2}}-{{\left( 4\sqrt{5} \right)}^{2}}}.A$ $=18+3A$

hay ${{A}^{3}}=3A+18\Leftrightarrow {{A}^{3}}-3A-18=0$ $\Leftrightarrow {{A}^{3}}-27-3A+9=0$

$\Leftrightarrow (A-3)({{A}^{2}}+3A+9)-3(A-3)=0$ $\Leftrightarrow (A-3)({{A}^{2}}+3A+6)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A-3=0 \\ {{A}^{2}}+3A+6=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=3 \\ {{\left( A+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{15}{4}=0(VN) \end{array} \right.$

Vậy $A=3$ .

Câu 7: Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\sqrt[3]{3-2x}\le {{4}^{3}}$ .

A
$x=-31$ .
B
$x=-29$ .
C
$x=-30$ .
D
$x=-32$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{3-2x}\le 4\Leftrightarrow 3-2x\le {{4}^{3}}$ $\Leftrightarrow 3-2x\le 64$ $\Leftrightarrow 2x\ge -61$ $\Leftrightarrow x\ge -\dfrac{61}{2}$

Nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $-30$ .

Câu 8: Tìm các cạnh của hình lập phương biết thể tích bằng $125 cm^3$ .

A
$4 cm$ .
B
$5 cm$ .
C
$5\sqrt{5} cm$ .
D
$10 cm$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi cạnh của hình lập phương là $a (cm)$ . Khi đó ta có thể tích của hình lập phương là:
$a^3 = 125 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{125} = 5 (cm)$ .

Câu 9: Chọn khẳng định đúng, với $a\ne 0$ ta có $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}}$ bằng

A
$\dfrac{1}{4a}$ .
B
$-\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}$ .
C
$-\dfrac{1}{2a}$ .
D
$\dfrac{1}{2a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}}=-\dfrac{1}{2a}$ .

Câu 10: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1}$ ta được

A
$-2x$ .
B
$-x$ .
C
$x$ .
D
$2x$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1}=\sqrt[3]{{{(x+1)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{(2x+1)}^{3}}}$

$=x+1-2x-1=-x$ .

Câu 11: Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{4-2x} > 4$ .

A
$x < 30$ .
B
$x > 30$ .
C
$x > -30$ .
D
$x < -30$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{4-2x} > 4\Leftrightarrow 4-2x > {{4}^{3}}\Leftrightarrow 4-2x > 64\Leftrightarrow 2x < -60\Leftrightarrow x < -30$ .

Câu 12: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{3x-2}=-2$ .

A
Là phân số.
B
Là số vô tỉ.
C
Là số nguyên âm.
D
Là số nguyên.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{3x-2}=-2\Leftrightarrow 3x-2={{(-2)}^{3}}\Leftrightarrow 3x-2=-8\Leftrightarrow 3x=-6\Leftrightarrow x=-2$

Vậy nghiệm của phương trình là số nguyên âm.

Câu 13: Rút gọn biểu thức $B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}$ ta được

A
$2\sqrt{5}$ .
B
$2$ .
C
$\sqrt{5}$ .
D
$4$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}$

$=\sqrt[3]{{{2}^{3}}+{{3.2}^{2}}.\sqrt{5}+3.2.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}-3.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}.2+3.\sqrt{5}{{.2}^{2}}-{{2}^{3}}}$

$=\sqrt[3]{{{\left( 2+\sqrt{5} \right)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{3}}}=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$ .

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{2x+1}=3$ là

A
$3$ .
B
$1$ .
C
$0$ .
D
$2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{2x+1}=3\Leftrightarrow 2x+1={{3}^{3}}\Leftrightarrow 2x+1=27\Leftrightarrow 2x=26\Leftrightarrow x=13$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x=13.$

Câu 15: Thu gọn $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}}$ với $a\ne 0$ ta được

A
$\dfrac{1}{4a}$ .
B
$-\dfrac{1}{3a}$ .
C
$\dfrac{1}{3a}$ .
D
$-\dfrac{1}{8a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{1}{3a} \right)}^{3}}}=-\dfrac{1}{3a}$ .

Câu 16: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}}$ ta được

A
$\dfrac{a{{b}^{2}}}{5}$ .
B
$\dfrac{-7a{{b}^{2}}}{5}$ .
C
$\dfrac{7a{{b}^{2}}}{5}$ .
D
$-\dfrac{a{{b}^{2}}}{5}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}}$ $=\sqrt[3]{{{\left( \dfrac{7a{{b}^{2}}}{-5} \right)}^{3}}}=-\dfrac{7a{{b}^{2}}}{5}$ .

Câu 17: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1}$ ta được

A
$6x$ .
B
$-6x$ .
C
$-4x$ .
D
$4x$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1}$

$=\sqrt[3]{{{(x-1)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{(5x+1)}^{3}}}=x+1-5x-1=-4x.$

Câu 18: Rút gọn biểu thức $\dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}$ ta được

A
$4ab$ .
B
$16ab$ .
C
$-4ab$ .
D
$-8ab$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}$ $=\sqrt[3]{\dfrac{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\sqrt[3]{-64{{a}^{3}}{{b}^{3}}}=\sqrt[3]{{{(-4ab)}^{3}}}=-4ab$ .

Câu 19: Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{2x+1} > -3$

A
$x > -14$ .
B
$x=-14$ .
C
$x < -14$ .
D
$x > -12$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt[3]{2x+1} > -3\Leftrightarrow 2x+1 > {{(-3)}^{3}}\Leftrightarrow 2x+1 > -27\Leftrightarrow 2x > -28\Leftrightarrow x > -14$ .

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Căn bậc ba

Lý thuyết về Căn bậc ba

1. Định nghĩa căn bậc ba

2. Tính chất của căn bậc ba

3. Ví dụ

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho A=23√3 A=2\sqrt[3]{3} và B=3√25 B=\sqrt[3]{25} . Chọn khẳng định đúng

Câu 2: Cho A=33√2 A=3\sqrt[3]{2} và B=3√42 B=\sqrt[3]{42} . Chọn khẳng định đúng.

Câu 3: Rút gọn biểu thức 23√27a3−33√8a3+43√125a3 2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}} ta được

Câu 4: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình 3√x3+6x2=x+2 \sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2 .

Câu 5: Rút gọn biểu thức 3√−27512a3+3√64a3−133√1000a3 \sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}} ta được

Câu 6: Rút gọn biểu thức A=3√9+4√5+3√9−4√5 A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} ta được

Câu 7: Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình 3√3−2x≤43 \sqrt[3]{3-2x}\le {{4}^{3}} .

Câu 8: Tìm các cạnh của hình lập phương biết thể tích bằng 125cm3125 cm^3.

Câu 9: Chọn khẳng định đúng, với a≠0 a\ne 0 ta có 3√−18a3 \sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}} bằng

Câu 10: Thu gọn biểu thức 3√x3+3x2+3x+1−3√8x3+12x2+6x+1 \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1} ta được

Câu 11: Tìm x x biết 3√4−2x>4 \sqrt[3]{4-2x} > 4 .

Câu 12: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình 3√3x−2=−2 \sqrt[3]{3x-2}=-2 .

Câu 13: Rút gọn biểu thức B=3√17√5+38−3√17√5−38 B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38} ta được

Câu 14: Số nghiệm của phương trình 3√2x+1=3 \sqrt[3]{2x+1}=3 là

Câu 15: Thu gọn 3√−127a3 \sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}} với a≠0 a\ne 0 ta được

Câu 16: Thu gọn biểu thức 3√343a3b6−125 \sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}} ta được

Câu 17: Thu gọn biểu thức 3√x3−3x2+3x−1−3√125x3+75x2+15x+1 \sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1} ta được

Câu 18: Rút gọn biểu thức 3√−64a5b53√a2b2 \dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}} ta được

Câu 19: Tìm x x biết 3√2x+1>−3 \sqrt[3]{2x+1} > -3

Câu 1: Cho $A=2\sqrt[3]{3}$ và $B=\sqrt[3]{25}$ . Chọn khẳng định đúng

Câu 2: Cho $A=3\sqrt[3]{2}$ và $B=\sqrt[3]{42}$ . Chọn khẳng định đúng.

Câu 3: Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}}$ ta được

Câu 4: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2$ .

Câu 5: Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}}$ ta được

Câu 6: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ ta được

Câu 7: Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\sqrt[3]{3-2x}\le {{4}^{3}}$ .

Câu 8: Tìm các cạnh của hình lập phương biết thể tích bằng $125 cm^3$ .

Câu 9: Chọn khẳng định đúng, với $a\ne 0$ ta có $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}}$ bằng

Câu 10: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1}$ ta được

Câu 11: Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{4-2x} > 4$ .

Câu 12: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{3x-2}=-2$ .

Câu 13: Rút gọn biểu thức $B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}$ ta được

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{2x+1}=3$ là

Câu 15: Thu gọn $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}}$ với $a\ne 0$ ta được

Câu 16: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}}$ ta được

Câu 17: Thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1}$ ta được

Câu 18: Rút gọn biểu thức $\dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}$ ta được

Câu 19: Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{2x+1} > -3$