1. Định nghĩa tam giác cân Tam giác cân là tam giác có hai

$ DA=DC\Rightarrow \Delta DAC $ cân $ \Rightarrow \widehat{C}=\widehat{DAC}. $

$ \widehat{ADB} $ là góc ngoài của $ \Delta DAC $ nên $ \widehat{ADB}=\widehat{C}+\widehat{DAC}=2\widehat{C} $

Tam giác $ ABD $ có $ AB=AD $ $ \Rightarrow \Delta ABD $ cân.

$ \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{ADB}. $

Do đó: $ \widehat{B}=2\widehat{C}. $

Xét $ \Delta ABC $ có: $ \widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}} $

$ \Rightarrow {{60}^{0}}+2\widehat{C}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{40}^{0}} $ .

Cần bổ sung thêm một điều kiện:

+ Cặp cạnh đáy bằng nhau: $ BC=B'C', $ khi đó $ \Delta ABC=\Delta A'B'C'\left( c.c.c \right). $

+ Hoặc cặp góc ở đỉnh bằng nhau: $ \widehat{A}=\widehat{A'} $ , khi đó $ \Delta ABC=\Delta A'B'C'\left( c.g.c \right). $

+ Hoặc cặp góc ở đáy bằng nhau: $ \widehat{B}=\widehat{B'}, $ khi đó $ \Delta ABC=\Delta A'B'C' $ (c.g.c hoặc g.c.g).

Tam giác ABC đều nên $ \widehat{BAC}={{60}^{0}}. $

Tam giác ACD vuông cân tại C nên $ \widehat{CAD}=\left( {{180}^{0}}-{{90}^{0}} \right):2={{45}^{0}}. $

$ \widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}={{60}^{0}}+{{45}^{0}}={{105}^{0}}. $

$ DE=DF\Rightarrow \Delta D\text{EF} $ cân tại D mà $ \widehat{D}={{60}^{0}} $ nên $ \Delta D\text{EF} $ đều

Giả sử $ \Delta MNP $ cân tại N thì ta có $ \widehat{M}=\widehat{P}=\dfrac{{{180}^{o}}-\widehat{N}}{2}={{40}^{o}} $

Giả sử $ \Delta MNP $ cân tại M thì $ \widehat{P}=\widehat{N}=\dfrac{180-\widehat{M}}{2}\Rightarrow $ loại

Tương tự $ \Delta MNP $ cân tại P thì $ \widehat{M}=\widehat{N}=\dfrac{180-\widehat{P}}{2}\Rightarrow $ loại

+ Trường hợp 1: Nếu góc $ {{40}^{0}} $ là góc ở đỉnh. Chẳng hạn $ \Delta ABC $ cân tại A có $ \widehat{A}={{40}^{o}} $ .

Vì $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ \widehat{B}=\widehat{C} $ . (1)

Ta có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\,\,\, $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{B}+\widehat{C}\,\,={{180}^{o}}-\widehat{A}={{180}^{o}}-{{40}^{o}}={{140}^{o}} $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ \widehat{B}=\widehat{C}={{140}^{o}}:2={{70}^{o}} $ .

+ Trường hợp 2: Nếu góc $ {{40}^{0}} $ là góc ở đáy. Chẳng hạn $ \Delta ABC $ cân tại A có $ \widehat{B}={{40}^{o}} $ .

Vì $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ \widehat{B}=\widehat{C}={{40}^{o}} $ . (1)

Ta có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\,\,\, $

$ \Rightarrow \,\widehat{A}={{180}^{o}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{180}^{o}}-\left( {{40}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}} $ .

Vậy nếu một tam giác cân có một góc bằng $ {{40}^{0}} $ thì số đo các góc còn lại là:

$ {{70}^{0}} $ và $ {{70}^{0}} $ hoặc $ {{40}^{0}} $ và $ {{100}^{0}}. $

Do tam giác ABC cân tại A nên AC=AB, $ \widehat{B}=\widehat{C} $ .

Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta AC\text{E} $ có

$ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{B}=\widehat{C} \\ AB=AC \\ B\text{D}=CE \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{E}\left( c.g.c \right)\Rightarrow A\text{D}=A\text{E}\Rightarrow \Delta \text{AD}E $ cân tại A nên AM là trung trực của DE

Ta có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}+2\widehat{\text{A}}\text{+2}\widehat{\text{A}}=5\widehat{\text{A}}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{36}^{o}}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}={{72}^{o}} $

Tam giác ABC có AB = AC nên $ \Delta ABC $ cân tại A.

Ta có $ \widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{{{180}^{o}}-\widehat{A}}{2}={{40}^{o}} $

Vì $ \Delta ABC $ đều có chu vi là 16cm nên $ AB=AC=BC=\dfrac{16}{3}\,cm. $

Vì $ \Delta ABD $ cân tại D có chu vi là 20cm

$ \Rightarrow $ Tổng hai cạnh bên $ AD+BD=20-AB=20-\dfrac{16}{3}=\dfrac{44}{3}cm $ .

$ \Rightarrow \,AD=BD=\dfrac{22}{3}\,cm. $

Vì $ \Delta ABC $ vuông cân tại A nên $ \widehat{ABC}={{45}^{0}}. $

Ta có: $ \widehat{ABC}+\widehat{DBC}={{180}^{o}} $ (kề bù)

$ \Rightarrow \widehat{DBC}={{180}^{o}}-\widehat{ABC}={{180}^{0}}-{{45}^{0}}={{135}^{0}}. $

Vì $ \Delta BDC $ cân tại B nên $ \widehat{BDC}=\widehat{BCD} $

$ \Rightarrow \,2\widehat{BDC}={{180}^{o}}-\widehat{DBC} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{BDC}=\left( {{180}^{0}}-{{135}^{0}} \right):2=22,{{5}^{0}} $ .

Xét $ \Delta ABD $ có $ AB=BD $ $ \Rightarrow \,\Delta ABD $ cân tại B $ \Rightarrow \,\,\widehat{BAD}=\widehat{BDA} $ .

Khi đó: $ 2\widehat{ADB}={{180}^{o}}-\widehat{ABD}={{180}^{o}}-{{80}^{o}} $

$ \Rightarrow \widehat{ADB}=\left( {{180}^{0}}-{{80}^{0}} \right):2={{50}^{0}}. $

Ta có: $ \widehat{ADC}+\widehat{ADB}={{180}^{o}} $ (kề bù)

$ \Rightarrow \,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{50}^{o}}={{130}^{o}} $ .

Xét tam giác $ ADC $ có $ AD=DC $ $ \Rightarrow \,\Delta ADC $ cân tại D $ \Rightarrow \,\widehat{DAC}=\widehat{ACD} $ .

Do đó: $ y=\widehat{ACD}=\left( {{180}^{o}}-\widehat{ADC} \right):2=\left( {{180}^{o}}-{{130}^{o}} \right):2={{25}^{o}} $ .

Ta có: $ \widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}={{36}^{o}}+{{36}^{o}}={{72}^{o}}=\widehat{ACB} $ ;

$ \widehat{BAC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{72}^{o}}+{{72}^{o}} \right)={{36}^{o}}=\widehat{ABD} $ ;

$ \widehat{BDC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{DBC}+\widehat{DCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{36}^{o}}+{{72}^{o}} \right)={{72}^{o}}=\widehat{BCD} $ .

Vậy trong hình vẽ ta có các tam giác cân là:

$ \Delta ABC $ cân tại A, $ \Delta ABD $ cân tại D, $ \Delta BCD $ cân tại B.

$ \Delta BDA=\Delta CDA\left( c.c.c \right) $ vì: $ BD=CD;\,\,BA=CA;\, $ cạnh chung $ AD $ .

$ \Rightarrow {{\widehat{D}}_{1}}={{\widehat{D}}_{2}}. $

Ta lại có $ \widehat{BDC}={{60}^{0}} $ (do $ \Delta BDC $ đều)

$ \Rightarrow {{\widehat{D}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{0}} $ .

Tam giác MNP cân tại M $ \Rightarrow \widehat{N}=\widehat{P}={{30}^{0}}. $

Mà $ \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{0}} $ nên $ \widehat{M}={{180}^{0}}-\left( {{30}^{0}}+{{30}^{0}} \right)={{120}^{0}}. $