1. Tổng ba góc của một tam giác Định lí: Tổng ba góc của

Xét $\Delta ABC$ có

Ta có góc $\widehat{BAy}$ là góc ngoài của đỉnh A nên

$\widehat{BAy}=\widehat{BCA}+\widehat{ABC}=2.\widehat{B}$ ( vì góc $\widehat{B}=\widehat{C}$ )

Lại có $Ax$ là phân giác góc ngoài của đỉnh A nên

$\widehat{BAx}=\widehat{\dfrac{BAy}{2}}=\widehat{B}$ .

Ta thấy $\widehat{BAx}=\widehat{ABC}$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên $Ax$ // BC.

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}={{45}^{0}}$ (vì AD là phân giác của BAC).

Xét tam giác DAC có $\widehat{ADB}$ là góc ngoài tại đỉnh D

$\Rightarrow \,\,\widehat{ADB}=\widehat{C}+\widehat{CAD}={{40}^{0}}+{{45}^{0}}={{85}^{0}}.$

Xét tam giác $DEF$ có x là góc ngoài đỉnh D

Ta có $x=\widehat{DEF}+\widehat{DFE}={{33}^{0}}+{{54}^{0}}={{87}^{0}}\Rightarrow \widehat{EDF}={{180}^{0}}-x={{93}^{0}}$

Lại có y là góc ngoài đỉnh E của tam giác $DEF$

Ta có $y=\widehat{EDF}+\widehat{DFE}={{54}^{0}}+{{93}^{0}}={{147}^{0}}$

Vậy $x+y={{87}^{0}}+{{147}^{0}}={{234}^{0}}$ .

$AB//\,DE\Rightarrow \widehat{CKE}=\widehat{B}={{40}^{0}}$ (so le trong).

$\widehat{BCE}$ là góc ngoài của $\Delta CKE$ nên: $\widehat{BCE}=\widehat{CKE}+\widehat{E}={{40}^{0}}+{{30}^{0}}={{70}^{0}}.$

Vì $\widehat{ABC} > \widehat{ACB}$ nên $\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} > \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ hay ${{\widehat{B}}_{1}} > {{\widehat{C}}_{1}}$ .

Mà $\widehat{BOC} > {{\widehat{B}}_{2}}$ (Vì góc ngoài của tam giác BOE) và ${{\widehat{B}}_{1}}={{\widehat{B}}_{2}}$

Do đó: $\widehat{BOC} > {{\widehat{B}}_{1}}.$

Vậy $\widehat{BOC} > \widehat{OBC} > \widehat{OCB}.$

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}+2x={{180}^{0}}\Rightarrow x=\dfrac{{{180}^{0}}-\widehat{B}}{2}={{30}^{0}}$ .

Xét tam giác $ABC$

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}-{{60}^{0}}={{70}^{0}}$ .

Ta có: $\widehat{BAx}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác OAB

$\Rightarrow \,\,\widehat{BAx}=\widehat{AOB}+\widehat{OBA}={{40}^{o}}+{{90}^{o}}={{130}^{o}}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại A nên

Ta có $\widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{40}^{o}}$

Vì $AH\bot \,BC$ nên $\widehat{AHC}={{90}^{o}}$

Xét tam giác AHC vuông tại H nên

$\widehat{HAC}+\widehat{C}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{HAC}={{90}^{0}}-{{40}^{0}}={{50}^{0}}$ .

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}};\,\,\widehat{A}={{70}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{110}^{0}}$ .

Mà $\widehat{B}-\widehat{C}={{10}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}={{60}^{0}};\,\,\widehat{C}={{50}^{0}}.$

Theo bài ra ta có: $\widehat{C}\le \widehat{A};\,\,\widehat{C}\le \widehat{B}$ nên $3\widehat{C}\le \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}\le {{180}^{0}}:3={{60}^{0}}.$

Vạy góc C lớn nhất bằng ${{60}^{0}}$ (khi đó $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ )

Xét tam giác $ABC$

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}$

$\Rightarrow x=\widehat{C}={{180}^{0}}-{{70}^{o}}-{{40}^{o}}-{{40}^{o}}={{30}^{o}}$

Xét tam giác $ABD$ có y là góc ngoài đỉnh D

Ta có $y={{70}^{0}}+{{40}^{0}}={{110}^{0}}$ .

Vậy $y-x={{110}^{0}}-{{30}^{0}}={{80}^{0}}$ .