Tập hợp các số hữu tỉ

$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}\Rightarrow xy=6\Rightarrow \left( x,\,y \right)$ là các ước số nguyên cùng dấu của 6.

$\left( x;y \right)=\left\{ \left( 2;3 \right);\left( 3;2 \right);\left( 1;6 \right);\left( 6;1 \right);\left( -2;-3 \right);\left( -3;-2 \right);\left( -1;-6 \right);\left( -6;-1 \right) \right\}$ _.

Ta có $-\dfrac{1}{4} < \dfrac{2}{7} < \dfrac{3}{4}$ _.

Ta có: $\dfrac{-2}{3}$ và $\dfrac{-3}{4}$ là số hữu tỉ âm, luôn nhỏ hơn 0; $\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3}.$

$\dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{3}{7}$ là số hữu tỉ dương, luôn lớn hơn 0; $\dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}.$

Vậy $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3} < 0 < \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}.$

Ta có: $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{a}{12} < \dfrac{-5}{9}\Rightarrow \dfrac{-27}{36} < \dfrac{3a}{36} < \dfrac{-20}{36}\Rightarrow -27 < 3a < -20.$

Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $3a=-24\Rightarrow a=-8$ hoặc $3a=-21\Rightarrow a=-7.$

Vậy $a\in \left\{ -8;-7 \right\}.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2x-1\in \left\{ -1;-3 \right\}\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;\,-1 \right\}$ _.

Ta thấy: $-3 < 0$ .

Để $y$ là số dương thì $2a-1 < 0\Rightarrow 2a < 1\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3$ _.

Có vô số hữu tỉ không nằm giữa

Ta có $-\dfrac{4}{9} < -\dfrac{3}{9}=-\dfrac{1}{3}$

Nên số hữu tỉ không nằm giữa $-\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{2}{3}$ là $-\dfrac{4}{9}$ .

Vì $11 > 9 > 8 > 7 > 4 > 3 > 2$ nên $\dfrac{5}{2} > \dfrac{5}{3} > \dfrac{5}{4} > \dfrac{5}{7} > \dfrac{5}{8} > \dfrac{5}{9} > \dfrac{5}{11}.$

Vậy $\dfrac{-5}{11} > \dfrac{-5}{9} > \dfrac{-5}{8} > \dfrac{-5}{7} > \dfrac{-5}{4} > \dfrac{-5}{3} > \dfrac{-5}{2}.$

Những phân số bằng số hữu tỉ $\dfrac{2}{-5}$ là những phân số có giá trị bằng $\dfrac{2}{-5}$ .

Các phân số đó là:

${\dfrac{6}{{ - 15}} = \dfrac{{6:3}}{{ - 15:3}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}$

${\dfrac{{ - 14}}{{35}} = \dfrac{{ - 14:\left( { - 7} \right)}}{{35:\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}$

${\dfrac{4}{{ - 10}} = \dfrac{{4:2}}{{ - 10:2}} = \dfrac{2}{{ - 5}}}$

Để $x$ không là số nguyên dương và cũng không là số nguyên âm thì $x=0.$

Ta có: $2\ne 0$ và nếu $x=0$ thì $a-3=0\Rightarrow a=3.$

Yêu cầu bài toán

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,5\vdots \,\left( x-1 \right)\Rightarrow x-1\in \left\{ 1;\,5;\,-1;\,-5 \right\} \\ \Rightarrow x\in \left\{ 2;\,\,6;\,\,0;-4 \right\}. \end{array}$

Gọi phân số $\dfrac{a}{21}$ là phân số phải tìm.

Ta có: $\dfrac{1}{3} < \dfrac{a}{21} < \dfrac{4}{7}\Rightarrow \dfrac{7}{21} < \dfrac{a}{21} < \dfrac{12}{21}\Rightarrow 7 < a < 12.$

Vậy phân số lớn hơn $\dfrac{1}{3}$ và nhỏ hơn $\dfrac{4}{7}$ trong các phân số đã cho là $\dfrac{8}{21}.$

Để $\dfrac{4}{2-x}$ là số hữu tỉ âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-x < 0 \\ 2-x\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ x\in \mathbb{Z} \end{array} \right.$ _.

Ta thấy: $\dfrac{2}{9}$ là số hữu tỉ nên $\dfrac{2}{9}\notin \mathbb{Z}.$

Để $\dfrac{2x-6}{3}$ là số hữu tỉ dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-6\in \mathbb{Z} \\ 2x-6 > 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\in \mathbb{Z} \\ x > 3 \end{array} \right.$ _.

Ta có $\dfrac{1941}{1031} > \dfrac{2011}{2001}\Leftrightarrow -\dfrac{1941}{1031} < -\dfrac{2011}{2001}$ _.

Ta có $\dfrac{3}{2} > \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ ; $-\dfrac{3}{2} < -\dfrac{2}{3}$ ; $-\dfrac{1}{7} < \dfrac{3}{4}$ .

Ta có $-\dfrac{6}{7} < -\dfrac{4}{9} < -\dfrac{3}{10} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}$ _.

Phân số lớn nhất là phân số có tử lớn nhất và mẫu nhỏ nhất.

Vậy phân số lớn nhất là $\dfrac{c+d}{a+b}.$

Ta có: $\dfrac{-2}{3} < 0;\,\,\,\dfrac{-1}{7}=\dfrac{5}{-35}.$