Tính chất tia phân giác của một góc

Ta có: B nằm trong góc xAy, $BM\bot Ax,BI\bot Ay,BM=BI.$

Do đó: B nằm trên tia phân giác của $\widehat{xAy}.$

Chứng minh tương tự: C, D nằm trên tia phân giác của $\widehat{xAy}.$

Vậy ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Xét tam giác vuông $\Delta ABE$ và tam giác vuông $\Delta DBE$ có

DE là cạnh chung

$\widehat{BAE}=\widehat{BED}={{90}^{o}}$

$\widehat{ABE}=\widehat{EBD}$ ( BE là phân giác )

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta DBE\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BD=BA \\ EA=ED \end{array} \right.$

Gọi H là giao của BE và AD

Ta dễ dàng cm $\Delta ABH=\Delta DBH\left( c-g-c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{BHD}$ ( 2 góc tương ứng)

Mà hai góc $\widehat{AHB};\widehat{BHD}$ ở vị trí kề bù

Nên $\widehat{AHB}=\widehat{BHD}={{90}^{o}}$

Vậy $BE\bot AD$ .

Do $EK\bot AB$ nên $\widehat{EKA}={{90}^{0}}$

$AE$ là phân giác của $\widehat{CAB}$ nên $\widehat{EAK}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAB}={{35}^{0}}$

Xét $\Delta AKE$ với $\widehat{EKA}={{90}^{0}}$

Có $\widehat{AEK}={{90}^{0}}-\widehat{EAK}={{90}^{0}}-{{35}^{0}}={{55}^{0}}$ .

Ta có 2 góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ kề bù; $Om;\,\,\,On$ là 2 tia phân giác của $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$

Nên $\widehat{mOz}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{zOy}$

Vậy $\widehat{mOn}=\widehat{mOz}+\widehat{zOn}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOz}+\widehat{zOy} \right)=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}={{90}^{0}}$ .

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}={{100}^{0}}.$

Vì BH và CH lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=\dfrac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}={{50}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHC}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}.$

Từ $N$ ta kẻ các đoạn $NA\bot Ox\,\left( A\in Ox \right),\,\,NB\bot \,Oy\,\left( B\in Oy \right)$

Xét tam giác vuông $\Delta ONA$ và tam giác vuông $\Delta ONB$ có

$ON$ là cạnh huyền chung

$\widehat{NOA}=\widehat{NOB}$

$\Rightarrow \Delta AON=\Delta BON$ ( ch-gn)

$\Rightarrow NA=NB$ hai cạnh tương ứng.

Nên $NA=NB=4$ cm.

Đường thẳng t’Ot chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng chứa tia Ox, nửa mặt phẳng chứa tia Oy.

Góc xOy là góc tù, $\widehat{\text{tOx}}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$ (vì Ot là tia phân giác) nên $\widehat{tOx}$ là góc nhọn.

$\widehat{xOz}={{90}^{0}}$ nên $\widehat{tOz}$ là góc tù.

Do đó: tia Oz nằm trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox mà bờ là đường tt’.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $\widehat{tOz}$ là góc vuông".

Theo tính chất tia phân giác của góc: $DH=DK.$

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: $\Delta DMB=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow DB=DC.$

$\Rightarrow \Delta DHB=\Delta DKC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow BH=CK,\widehat{DBH}=\widehat{DCK}.$

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $DB > DC$ ".

Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{xAB}=\widehat{xAC}$ (1)

$Ax//CD$ bị cắt bởi đường thẳng AC, hai góc xAC và ACD là hai góc so le trong nên $\widehat{xAC}=\widehat{ACD}$ (2)

$\widehat{xAB}=\widehat{ADC}$ (hai góc đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{xAB}=\widehat{xAC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}.$

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$ ".

K thuộc tia phân giác của góc CBx và $KD\bot Bx\,;\,KE\bot BC$ nên $KD=KE.$ (1)

K thuộc tia phân giác của góc BCy và $\,KE\bot BC\,;\,KF\bot Cy$ nên $KE=KF.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow KD=KF\Rightarrow$ K thuộc tia phân giác của góc A.

Vì điểm M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’ nên điểm M thuộc tia phân giác của góc tạo bời hai đường thẳng đó.

Mà Ot’ là tia phân giác của $\widehat{xOy'}$ nên điểm M thuộc tia Ot’ hoặc tia đối của tia Ot’.

Vậy điểm M thuộc đường thẳng Ot’.

Vì Bx là tia phân giác của góc B nên $\widehat{ABx}=\widehat{xBC}.$

$MN//BA\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{ABx}$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow \widehat{xBC}=\widehat{BMN}.$

$Ny//Bx\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{MNy}$ (hai góc so le trong), $\widehat{xBC}=\widehat{yNC}$ (hai góc đồng vị).

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $\widehat{xBC}=\widehat{MNC}$ ".

Từ hình vẽ ta thấy chỉ có điểm A cách đều hai cạnh của $\widehat{xOy}$

Do đó: điểm A thuộc tia phân giác của $\widehat{xOy}.$

Ot và Ot’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù $\widehat{xOy}$ và $\widehat{xOy}$ nên ta có:

$\widehat{xOt}+\widehat{xOt'}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}+\dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+\widehat{xOy'} \right)=\dfrac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{tOt'}={{90}^{0}}.$

Do $DM\text{//}AB\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{BAD}$ ( so le trong)

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}$

Nên $\widehat{ADM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}={{35}^{0}}$ .

Xét tam giác $\Delta ABC$

Ta có $\widehat{A}={{180}^{0}}-\widehat{B}-\widehat{C}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}-{{30}^{0}}={{70}^{0}}$

$AD$ là phân giác của $\widehat{A}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}={{35}^{0}}$

Xét tam giác $\Delta ABD$ có $\widehat{ADC}$ là góc ngoài đỉnh D.

$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABD}={{35}^{0}}+{{80}^{0}}={{115}^{0}}$ .